上一篇动态规划：01背包问题中是⽤⼆维dp数组来讲解01背包。今天我们就来说⼀说滚动数组，其实在前⾯的题⽬中我们已经⽤到过滚动数组了，就是把⼆维dp降为⼀维dp，⼀些朋友可能还是⽐较困惑。那么我们通过01背包，来彻底讲⼀讲滚动数组！接下来还是⽤如下这个例⼦来进⾏讲解。

背包最⼤重量为4。物品为：

背包能背的物品最⼤价值是多少?

⼀维dp数组（滚动数组）

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。在使⽤⼆维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);其实可以发现如果把dp[i - 1]那⼀层拷⻉到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j- weight[i]] + value[i]);于其把dp[i - 1]这⼀层拷⻉到dp[i]上，不如只⽤⼀个⼀维数组了，只⽤dp[j]（⼀维数组，也可以理解是⼀个滚动数组）。这就是滚动数组的由来，需要满⾜的条件是上⼀层可以重复利⽤，直接拷⻉到当前层。读到这⾥估计⼤家都忘了 dp[i][j]⾥的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品⾥任意取，放进容量为j的背包，价值总和最⼤是多少。⼀定要时刻记住这⾥i和j的含义，要不然很容易看懵了。

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

在⼀维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最⼤为dp[j]。

2. 确定递推公式

dp[j]为容量为j的背包所背的最⼤价值，那么如何推导dp[j]呢？
dp[j]可以通过dp[j - weight[j]]推导出来dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最⼤价值。dp[j - weight[i]] + value[i] 表示容量为 j - 物品i重量的背包加上物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放⼊物品i了之后的价值即：dp[j]）此时dp[j]有两个选择，⼀个是取⾃⼰dp[j]，⼀个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，指定是取最⼤的，毕竟是求最⼤价值，所以递归公式为：

    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相对于⼆维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

3. dp数组如何初始化

关于初始化，⼀定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最⼤为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最⼤价值就是0。那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？看⼀下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);dp数组在推导的时候⼀定是取价值最⼤的数，如果题⽬给的价值都是正整数那么⾮0下标都初始化为0就可以了，如果题⽬给的价值有负数，那么⾮0下标就要初始化为负⽆穷。这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最⼤的价值，⽽不是被初始值覆盖了。那么我假设物品价值都是⼤于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

4. 确定遍历顺序

代码如下：

for (int i = 0; i < weight.length; i++) {//遍历物品
    for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

这⾥⼤家发现和⼆维dp的写法中，遍历背包的顺序是不⼀样的！
⼆维dp遍历的时候，背包容量是从⼩到⼤，⽽⼀维dp遍历的时候，背包是从⼤到⼩。为什么呢？
倒叙遍历是为了保证物品i只被放⼊⼀次！，在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！中讲解⼆维dp数组初始化dp[0][j]时候已经讲解到过⼀次。
举⼀个例⼦：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15。如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放⼊了两次，所以不能正序遍历。为什么倒叙遍历，就可以保证物品只放⼊⼀次呢？
倒叙就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取⼀次了。
那么问题⼜来了，为什么⼆维dp数组历的时候不⽤倒叙呢？

因为对于⼆维dp，dp[i][j]都是通过上⼀层即dp[i - 1][j]计算⽽来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！（如何这⾥读不懂，⼤家就要动⼿试⼀试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？
不可以！

因为⼀维dp的写法，背包容量⼀定是要倒序遍历（原因上⾯已经讲了），如果遍历背包容量放在上⼀层，那么每个dp[j]就只会放⼊⼀个物品，即：背包⾥只放⼊了⼀个物品。这⾥如果读不懂，就在回想⼀下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒⼀下试试！）所以⼀维dp数组的背包在遍历顺序上和⼆维其实是有很⼤差异的！，这⼀点⼤家⼀定要注意。

5. 举例推导dp数组

⼀维dp，分别⽤物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：

动规五部分分析完毕，对应Java代码如下：

public static int dp2(){
    int[] value = {15, 20, 30};
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
        for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    return dp[bagWeight];
}

注：文章转自微信公众号：代码随想录，文章有部分改动。

动态规划进阶02：01背包理论基础（滚动数组）