首先背包问题有多种如图：

01背包问题

有N件物品和⼀个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能⽤⼀次，求解将哪些物品装⼊背包⾥物品价值总和最⼤。

这是标准的背包问题，以⾄于很多朋友看了这个⾃然就会想到背包，甚⾄都不知道暴⼒的解法应该怎么解了。这样其实是没有从底向上去思考，⽽是习惯性想到了背包，那么暴⼒的解法应该是怎么样的呢？看过我动态规划第一篇文章的朋友因该都知道肯定是递归加回溯。每⼀件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使⽤回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这⾥的n表示物品数量。所以暴⼒的解法是指数级别的时间复杂度。进⽽才需要动态规划的解法来进⾏优化！

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题的写法，是使⽤⼆维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品⾥任意取，放进容量为j的背包，价值总和最⼤是多少。只看这个⼆维数组的定义，⼤家⼀定会有点懵，看下⾯这个图：

把dp数组拆开看dp[i]代表在i件物品那一行可以取0~i的物品，dp[j]表示背包已经用了j容量，dp[i][j]表示表示从下标为[0-i]的物品⾥任意取，放进容量为j的背包，价值总和最⼤。要时刻记着这个dp数组的含义，下⾯的⼀些步骤都围绕这dp数组的含义进⾏的，如果哪⾥看不懂了，就来回顾⼀下i代表什么，j⼜代表什么。

2. 确定递推公式

再回顾⼀下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品⾥任意取，放进容量为j的背包，价值总和最⼤是多少。，我们假设现在要求dp[1][4]的最大价值,那么可以有两个⽅向推出来dp[1][4]：

1.我们先不放物品1进入容量为4的背包，那么dp[1][4]的最大价值即为dp[1 - 1][4] = dp[0][4]，注意do[0][4]已经是计算过了的最大价值，而且不难知道只有物品0背包容量为4的时候dp[0][4] = 15即不放入物品1时背包容量4的最大价值。那么不难得出背包容量为j，⾥⾯不放物品i的最⼤价值，此时就是dp[i - 1][j]

2.将物品1放入容量为4的背包，因为物品1的重量为3价值为20，那么dp[1][4]的最大价值为：dp[1 - 1][4 - 3] + 20 = dp[0][1] + 20。dp[0][1]放入物品1后背包剩余容量的最大价值而且不难看出为10，20就是物品1的价值，所以dp[1][4] = 35。那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最⼤价值。

总结dp[1][4] = max（dp[1 - 1][4], dp[i -1][4 - 3] + 20）
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3. dp数组如何初始化

⾸先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，⽆论是选取哪些物品，背包价值总和⼀定为0。如图:

在看其他情况。状态转移⽅程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就⼀定要初始化。dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最⼤价值。那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量⽐编号0的物品重量还⼩。当j >= weight[0]是，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放⾜够放编号0物品。代码初始化如下：

    for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

此时dp数组初始化情况如图所示：

费了这么⼤的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少朋友平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的。

4. 确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

那么问题来了，先遍历物品还是先遍历背包重量呢？其实都可以！！但是先遍历物品更好理解。Java代码如下：

    for(int i = 1; i < dp.length; i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= dp[0].length; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) 
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 当背包容量小于物品大小时无法放入物品。
        else 
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }

先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这⾥使⽤的⼆维dp数组）例如这样：

    for(int i = 1; i < dp[0].length; i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= dp.length; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) 
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 当背包容量小于物品大小时无法放入物品。
        else 
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }

为什么也是可以的呢？
要理解递归的本质和递推的⽅向。 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上⻆⽅向（包括正左和正上两个⽅向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：
⼤家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上⻆，根本不影响dp[i][j]公式的推导！但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。其实背包问题⾥，两个for循环的先后循序是⾮常有讲究的，理解遍历顺序其实⽐理解推导公式难多了。

5. 举例推导dp数组

来看⼀下对应的dp数组的数值，如图：

动规五部分分析完毕，对应Java代码如下：

public int dp(){
    int[] value = {15, 20, 30};
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int bagWeight = 4;
    int[][] dp = new int[weight.length][bagWeight + 1];
    for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }
    for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
        for (int j = 1; j < dp[0].length; j++) {
            if (j < weight[i])
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    return dp[weight.length - 1][bagWeight];
}

动态规划进阶01：01背包问题