【洛谷】种树：为什么能用最长路来求最小值？Offer 驾到，掘友接招！我正在参与2022春招打卡活动，点击查看活动详情。

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题目描述

昨天我们使用贪心问题求解了这道题，不过其实这道题有个更有意思的解法。

题目思路--除了贪心...

观察题意，我们其实可以把题目转化为一系列的不等式组，然后求在满足不等式组的条件下某一变量的最值。

首先，设 $f_i$ 为区域 $1$ 至 $i$ 之间种的树的数量。那么根据题目，我们可以列出以下的方程组：(注意是包括b和e的)

f_{e_1}-f_{b_1-1}\ge t_1\\ f_{e_2}-f_{b_2-1}\ge t_2\\ f_{e_3}-f_{b_3-1}\ge t_3\\ ...\\ f_{e_h}-f_{b_h-1}\ge t_h

别忘了还有条件“每个部分为一个单位尺寸大小并最多可种一棵树。”,另外，有个暗含条件是每个单位尺寸的树的数量不为负数。

0\le f_{1}-f_{0}\le 1\\ 0\le f_{2}-f_{1}\le 1\\ 0\le f_{3}-f_{2}\le 1\\ ...\\ 0\le f_{n}-f_{n-1}\le 1

最后我们要求的是 f_n 的最小值。怎么求呢？

又见差分约束系统！

【学海拾遗】不等式组求解——图论的巧妙使用 - 掘金 (juejin.cn)

根据这篇文章，我们得知了不等式组的求解可以转化为图论的最短路问题。

但是这里有点小问题：

首先这个题要求的是一个特定的解，其中 $f_n$ 要求最小。

对于这种求最大或者最小的特定解的问题，我们也有通用解法，那就是 寻找一个点，它的 $dist$ 肯定为0，就以这个点为起点，求目标结点的最短路即可~

在这里我们找到的点就是 $f_0$ 对于的点，因为 $f_0=0$ 。

其次，这里的等号都是小于号，如果转化为大于号，就会出现一堆边权为 $-t_1,-t_2,-t_3$ 的边。

出现负权边倒是没问题，但是我们惊讶的发现这样建图，是不能从 $0$ 到达 $n$ 点的，会得出无解！

因此我们换个思路：求最长路即可。

固定一个结点 $i$ ，设 $dist[j]$ 为图中结点 $i$ 到结点 $j$ 的最长路径。那么当 $j$ 与 $k$ 之间有一条有向边,边权为 $w$ 时，有以下性质：

dist[j]+w\le dist[k]\\ 即 dist[k]-dist[j]\ge w

然后上面的不等式组就可以转换成如下的图：

图有 $n+1$ 个结点，由于 $f_0$ 必为 $0$ ，那我们固定 $dist[0]=0$ , 即图中的最长路径是指从 $0$ 出发的最长路径。

对于 $i\in[1,h]$ ，从 $b_i-1$ 向 $e_i$ 建一条权值为 $t_i$ 的边；

对于 $i\in[1,n]$ ，从 $i$ 向 $i-1$ 建一条权值为 $-1$ 的边,从 $i-1$ 向 $i$ 建一条权值为 $0$ 的边；

最后使用SPFA求最长路即可。

为什么是最长路？

可能有人会疑惑，为什么题目求的是 $f_n$ 的最小值，但我们却求得是图的最长路径？？？ 为什么不求最短路径呢？

大家可以仔细想想。当我们根据那些不等式建图的时候，其实我们已经定下了 $dist[i]$ 的含义，那就是最长路径， 而不是最短路径！如果我们用最短路径去求，很显然得出来的一系列 $dist[i]$ 是不满足上述的不等式组的。

而我们求出了最长路径时，就意味着我们得到了一个等于号， 也就是说存在一个结点 $i$ ，有 $dist[i]+w=dist[n]$ ，这意味着什么？意味着我们求出来了不等式组的一个临界解。而临界解通常意味着最值，并且无论是最大值还是最小值，每个情景绝对只有一个最值。 在这里是最小值，因此我们就可以把它当作结果了。总而言之，建模时求图的“最长“路径还是”最短”路径和解题时求的“最大“值“最小“值没有关系，我们只需要确定我们得到了”最“，我们就可以把它作为答案。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<numeric>
#define fru(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define frd(a,b,c) for(int a=b;a>=c;a--)
#define fr(a,b) for(int a=0;a<b;a++)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define sof sizeof
using namespace std;
using ll=long long;
using db=double;
ll rd() {
        ll k = 0, f = 1;
        char c = getchar();
        while (c < '0' || c>'9') {
            if (c == '-')f = -1;
            c = getchar();
        }
        while (c >= '0' && c <= '9') {
            k = (k << 1) + (k << 3) + (c ^ 48);
            c = getchar();
        }
        return f > 0 ? k : -k;
    }
const db eps=1e-6;
const int inf=0x3ffffff3;
const ll linf=0x3ffffffffffffff3;
const db dinf=1e10;
const double pi=acos(-1);
inline bool is0(db a){return a < eps && a > -eps;}
const int maxn=100000+5;
struct edge{
	int v,w;
};
vector<edge> graph[maxn];
bool fd[maxn];
int dist[maxn];
int timee[maxn];
bool SPFA(int n){
	queue<int> q;
	fill_n(dist,n+1,-inf);
	dist[0]=0;
	fd[0]=1;
	q.push(0);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		fd[u]=0;
		for(auto e:graph[u]){
			int v=e.v,w=e.w;
			if(dist[u]+e.w>dist[v]){
				dist[v]=dist[u]+e.w;
				if(!fd[v]){
					q.push(v);
					fd[v]=1;
					timee[v]++;
					if(timee[v]>n)return 0;
				}
			}
		}
	}
	return 1;
}
int main(){
	int n=rd(),h=rd();
	fr(i,h){
		int b=rd(),e=rd(),t=rd();
		graph[b-1].pb({e,t});
	}
	fru(i,1,n){
		graph[i-1].pb({i,0});
		graph[i].pb({i-1,-1});
	}
	SPFA(n);
	cout<<dist[n];
	
}