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二话不多说，引入一道题目：给出一组包含 m 个不等式，有 n 个未知数的形如：

x_{c_1}-x_{c_{1}^{'}}\le y_1\\ x_{c_2}-x_{c_{2}^{'}}\le y_2\\ ...\\ x_{c_m}-x_{c_{m}^{'}}\le y_m\\

的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解。

如上述类型让你求不等式的解的算法题，统称为差分约束系统。下面我们来讨论这种题的解法。

图论？

学过图论的都知道，图有一个很重要的性质：

固定一个结点 i，设 dist[j] 为图中结点 i 到结点 j 的最短路径。那么当 j 与 k 之间有一条有向边,边权为 w 时，有以下性质：

dist[j]+w\ge dist[k]\\ 即 dist[k]-dist[j]\le w

看看看看，是不是一个不等式？？

再进一步，如果图中所有的邻接结点的关系都这样表示，是不是也构成了一个不等式组？？

不得不说，图论真是美妙啊。

不等式组，这么一个感觉与图论毫不相干的问题，居然还真能用图论解决...

差分约束系统与图的转化

考虑如何把上面的不等式组就可以转换成一个图模型。

显然我们可以顺藤摸瓜的这样想：把 $c_1,c_{1}^{'},...,c_m,c_{m}^{'}$ 当作图的结点，对应的 $x$ 当作最短距离（即 $dist[c_i]$ ）。

那么，当有 $x_{c_i}-x_{c_{i}^{'}}\le y_i$ 不等式时，我们就可以从 $c_{i}^{'}$ 向 $c_i$ 连一条边权为 $y_i$ 的边。

这时，当我们求出来图的最短路径时，所有的 $dist$ 就都满足上面的不等式了。

如果我们随便找一个结点作为起点进行最短路，那么有可能达不到一些节点，本来有解的不等式被我们得出无解的结论。

通用方法就是：设置一个公共的超级结点，它以边权为0连向每一个边，从这个点作为起点进行最短路。

这样会不会破坏不等式的结构？答案是否定的。因为我们只是多加了一些约束条件，原来的图结构没有被我们破坏，的出来的答案自然也满足原来的不等式组。

对于求一组不等式组的问题，统称为差分约束系统。
这类问题的通用解法：
- 对于每个不等式，我们按照上面的方式在图中加入相应的点和边。
- 最后求最短路，这时就使得dist满足所有不等式了。
- 如果找不到一个保证能到达所有点的起点，那就设置一个超级源点。