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图(Graph)的定义
图(Graph)由顶点集V(G)和边集E(G)组成，记为G=(V,E)。其中V(G)代表图中的所有顶点的集合，而E(G)是图中的所有边的集合。
图的术语
- 顶点(Vertex)
- 顶点的度：顶点v的度是指与v相关联的边的数目,通常记为TD (v)。在有向图中, 顶点的度等于该顶点的入度与出度之和
- 顶点的出度：顶点v的入度是指以v为起点有向边数,记为ID (v)
- 顶点的入度：顶点v的出度是指以v为终点有向边数,记为OD (v)
- 弧头和弧尾: 有向边(u,v)称为弧，边的始点u叫弧尾，终点v叫弧头
- 邻接和依附:无向图中,对于任意两个顶点vi和vj,若存在边(vi，vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点,同时称边(vi,vj)依附于顶点vi和顶点vj;
- 有向图和无向图
- 无向图:图中每条边都是无方向的
- 有向图:图中每条边都是有方向的
- 完全图: 图中任意两个顶点都有一条边连接
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无向完全图：无向图中，任意两个顶点之间都存在边。无向完全图的边数是n(n-1)，n代表结点的个数。
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有向完全图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧。有向完全图的边数是n(n-1)/2，n代表结点的个数。
含有n个顶点的无向完全图的边数是n(n-1) 含有n个顶点的有向完全图的边数是n(n-1)/2
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- 带权图和无权图
- 带权图:边上带权的图(带权图也叫网图)。其中权是指每条边可以标上具有某种含义的数值
- 无权图:边上没有权的图。
- 简单图: 在图中,若不存在顶点到其自身的边,且同一条边不重复出现
(数据结构中讨论的图都是简单图) - 稀疏图和稠密图
- 稀疏图: 称边数很少的图为稀疏图;
- 稠密图: 称边数很多的图为稠密图。
- 路径的长度
- 非带权图:路径上的边的个数
- 带权图:路径上各边的权之和
- 连通: 在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。
- 连通图和强连通图
- 连通图:在无向图中,如果图中任意一对顶点都是连通的,即有路径, 则称此图是连通图。
- 强连通图:在有向图中,如果图中任意一对都是连通的,即有路径, 则称此图是强连通图。
- 连通分量和强连通分量
- 连通分量: 无向图的极大连通子图。(显然任何连通图的连通分量只有一个，即本身。而非连通图有多个连通分量，各个连通分量之间是分离的，没有任何边相连。)
- 强连通分量: 有向图的极大强连通子图。
- 连通子图: 设G=(V,E)和G'=(V',E'),如果V'是V的子集，并且E'是E的子集，那么称G'是G的子图。如果子图是连通的，那么就是连通子图。
- 极大连通子图：该子图是图G的连通子图，将G的任何不在该子图的顶点加入，子图将不再连通。
- 极小连通子图：该子图是图G的连通子图，在该子图中删除任何一条边，子图都将不再连通。
- 回路: 若路径上第一个顶点与最后一个顶点重合，则称这样的路径为回路或环。
- 生成树和生成森林
- 生成树: n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。生成树含有图中全部顶点,但只有n-1条边。如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环。若图中有n个顶点，却少于n-1条边，必为非连通图。
- 生成森林: 在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。
- 最小生成树: 在给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点u与顶点v的边，而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在E的子集T且为无循环图，使得
的w(T) 最小，则此T为G 的最小生成树。
拓展: 不同结构中逻辑关系的对比
在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系;
在树结构中，结点之间具有层次关系;
在图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系。
在线性结构中，元素之间的关系为前驱和后继;
在树结构中，结点之间的关系为双亲和孩子;
在图结构中，顶点之间的关系为邻接。
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