写在前面：该篇算法是第一篇能够完整挖掘出所有高效用情节，理念上和HUI-Miner，EFIM等算法没有很大区别，但在实现上却更难一些。

Utility-Driven Mining of High Utility Episodes

样例

External Utility Table：

A Complex Event Sequence：

定义

大多基本定义可以参考 TKE，TUP 和 UP-Span 等算法，以下作一些补充及关键的定义。

• 最小发生（Minimal occurrence）给定情节 $\alpha$ 的两个时间间隔 $[T_{\rm s}, T_{\rm e}], \, [T_{\rm s}', T_{\rm e}']$。当有 $T_{\rm s} \le T_{\rm s}'. \, T_{\rm e}‘ \le T_{\rm e}$ 时，我们称第二个时间间隔是第一个时间间隔的子集；当 $[T_{\rm s}, T_{\rm e}]$ 不存在子集的情况时，我们称时间间隔 $[T_{\rm s}, T_{\rm e}]$ 为最小发生 （Minimal occurrence），用 $mo(\alpha)$ 表示情节 $\alpha$ 的一个最小发生，$moSet(\alpha)$ 表示情节 $\alpha$ 在复杂事件序列 $S$ 中的所有最小发生。

  例如：$mo(\{<A, D> \rightarrow B\}) = [T_1, T_2], \, moSet(\{<A, D> \rightarrow B\}) = \{[T_1, T_2], \, [T_3, T_5]\}$

• 最大时间段（Maximum time duration）类似于早期算法中的滑动窗口，是需要用户指定的时间约束（MTD），规定情节 $\alpha$ 满足 $T_{\rm e} - T_{\rm s} \le MTD$，且 $mo(\alpha)$ 恒满足该约定。

  Ps. 这里需要指明的是，早些论文规定的是 ==$T_{\rm e} - T_{\rm s} + 1 \le MTD$==，UMEpi算法这样设计的原因是为了提供一个更紧凑的边界，方便能够找出所有的高效用情节（HUEs）

• 某个同时事件集在时间点上的效用值（Utility of a simultaneous event set w.r.t. time point）对于同时事件集 $E \subseteq S$ 在时间点 $T_{\rm i}$ 上的效用值定义为 $U(E, T_{\rm i}) = \sum_{e \in E}u(e, T_{\rm i}) = \sum_{e \in E}(p(e) \times q(e, T_{\rm i}))$

  例如：$u(\{A\}, T_3) = 3 \times 1 = 3$，$u(\{A, D, E\}, T_3) = u(\{A\}, T_3) + u(\{D\}, T_3) + u(\{E\}, T_3) = 16$

• 事件序列总效用值（Total utility of an event sequence）给定一个复杂事件序列 $S$，在时间点 $T_{\rm i}$ 上的所有事件总效用定义为 $tu(T_{\rm i}) = \sum_{e_{\rm j} \in T_{\rm i}}u(e_{\rm j}, T_{\rm i})$，那么 $S$ 的总效用值定义为 $TU(S) = \sum_{T_{\rm i} \in S}tu(T_{\rm i})$

  例如：$tu(T_1) = u(\{A\}, T_1) + u(\{C\}, T_1) + u(\{D\}, T_1) = 13$，$TU(S) = tu(T_1) + tu(T_2) + tu(T_3) + tu(T_4) + tu(T_5) + tu(T_6) = 94$

• 高效用情节（High-utility episode）给定一个复杂事件序列 $S$，最大时间段 MTD 以及用户设置的阈值 minUtil，当 $S$ 中的事件(集)满足 $u(\alpha) \ge minUtil \times TU$，我们称该事件(集)为 HUE

  Ps. 注意这里的定义和 TUP 有所不同，原因在于总效用定义上的不同

策略

Episode-Weighted Downward Closure Property

• 当对于一个情节 $\alpha$ 新增加的情节 $\beta$ 的时间跨度与 $\alpha$ 一致，那么我们把这个操作称为 $I$-Concatenation（并行连接），若新增加的情节 $\beta$ 使得 $\alpha$ 时间跨度变长，那么我们把这个操作称为 $S$-Concatenation（串行连接）

• 词典序列树（Lexicographic sequence tree）基于前缀树的根节点为空，且对于父节点（也叫前缀节点）的所有子节点都通过连接（串，并）形成，这些子节点之间是有序的

  Ps. 和 EHIN 中的空间检索枚举树一致

• 情节权重效用值（Episode-Weighted Utilization）设情节 $\alpha = <(E_1), (E_2), \dots, (E_{\rm k})>$，有 $mo(\alpha) = [T_{\rm s}, T_{\rm e}]$（满足 MTD），且 每一个事件集 $E_{\rm i} \in \alpha$ 都有唯一的时间点 $T_{\rm i} \, (1 \le i \le k)$ 与之对应，则

  $$EWU(\alpha, mo(\alpha)) = \sum_{i = 1}^{k-1}u(E_{\rm i}, T_{\rm i}) + \sum_{i = T_{\rm e}}^{T_{\rm s} + MTD}u(SE_{\rm i}, T_{\rm i}) \\ 或 \\ EWU(\alpha, mo(\alpha)) = \sum_{i = 1}^{k}u(E_{\rm i}, T_{\rm i}) + \sum_{i = T_{\rm e}}^{T_{\rm s} + MTD}u(SE_{\rm i}, T_{\rm i})$$

  其中 $SE_{\rm i}$ 是复杂事件序列中的同时事件集（与 $\alpha$ 无关）。但请注意，这里只是计算了 $\alpha$ 的一个最小发生，若有多个，则广义上的计算方式为 $EWU(\alpha) = \sum_{\rm i = 1}^{\rm n}EWU(\alpha, mo_{\rm i}(\alpha))$。在该算法中是不断通过连接事件来组合成情节，如何判断有用的情节（候选），剪去不需要的情节是该算法的一个重要步骤，判断规则和 HUE 一样（$EWU(\alpha) \ge minUtil \times TU$）

  例如：$MTD = 2, \, mo_1(<\{A, D\} \rightarrow B>) = [T_1, T_2]$，$mo_2(<\{A, D\} \rightarrow B>) = [T_3, T_5]$，那么 $EWU(\alpha, mo_1(\alpha)) = u(\{A, D\}, T_1) + u(\{B\}, T_2) + u(\{B, C\}, T_2) + u(\{A, D, E\}, T_3) = 7 + 10 + 14 +16 = 47$

  Ps. 注意，论文中提到 EWU 只是局部上边界，故剪枝属性也只是局部，这解释了之前的算法为什么会结果产生不准确或不充分的原因

Pruning Strategy for Searching HUEs

• 剩余情节效用值（Remaining utility ofan episode）在筛选掉 unpromising episodes 后，情节 $\alpha$ 在时间点 $T_{\rm i}$ 的剩余情节效用值是发生在该情节之后的所有事件(集)效用值之和 $ru(\alpha, T_{\rm i}) = \sum_{e' \not \in \alpha \land e' \succ \alpha}u(e', T_{\rm i})$

• 优化后的情节权重效用值（Optimized Episode-Weighted Utilization）有

  $$EWU_{opt'}(\alpha, mo(\alpha)) \\ = u(\alpha, mo(\alpha)) + ru(E_{\rm k}, T_{\rm e}) + \sum_{T_{\rm e} + 1}^{T_{\rm s} + MTD}tu(T_{\rm i}) \\ = \sum_{\rm i = 1}^{\rm k}u(E_{\rm i}, T_{\rm i}) + ru(E_{\rm k}, T_{\rm e}) + \sum_{T_{\rm e} + 1}^{T_{\rm s} + MTD}tu(T_{\rm i})$$

  同理，$EWU_{opt'}(\alpha) = \sum_{\rm i = 1}^{\rm n}EWU_{opt'}(\alpha, mo_{\rm i}(\alpha))$

  例如：设 $\alpha = <\{B\} \rightarrow D>, \, MTD = 2$，则 $EWU_{opt'}(\alpha, [T_2, T_3]) = \{u(\{B\}, T_2) + u(\{D\}, T_3)\} + \{u(\{E\}, T_3) + u(\{D, E\}, T_4)\} = 10 + 13 + 3 + 14 = 40$显然优化后的 $EWU$ 要比原来更紧凑，所以利用 $EWU_{opt'}$ 可以在检索空间上更有效地剪枝

算法

该算法也是分两步走：1）扫描生成1阶HUEs；2）不断调用 HUE-Span 方法利用低阶组合生成高阶HUEs

The Span-SimultHUE procedure：

The Span-SerialHUE procedure：

总结

该文主要贡献在于 1）论证了低权重情节也有可能与高权重情节组合生成高权重情节，这是以前HUEM算法都没有考虑周全的地方；2）重新定义了更紧凑的 EWU，这使得在运算速度上大大提高了，因为情节具有时效性，不同时间点发生的情节意义不尽相同，所以它们能产生的组合数目是非常大的；3）与UP-Span等算法相比，没有采用预测机制来推断哪些情节是高效的，$moSet(\alpha)$ 存储了 情节 $\alpha$ 的所有子序列（也就是潜在可以组合的情节）