EFIM算法

Suarne
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写在前面：该算法

  1. 目的是在HUI-Miner算法的基础上提高效率，关键在于两个新上界：revised sub-tree utility、local utility来压缩高效检索空间。
  2. 并且通过快速效用值计算算法FAC(Fast Utility Counting)来在线性时间内获取上界值和检索空间。
  3. 更进一步，通过HDP(High-utility Database Projection)和HTM(High-utility Transaction Merging)在线性时间内完成对数据库的映射和事务归并。

EFIM: A Fast and Memory Efficient Algorithm for High-Utility Itemset Mining

样例

事务数据库

扩展效用值

高效效用值项集

枚举树

定义

HUI-Miner算法

  1. p(i)p(i)：i是项，p(i)是外部效用值，代表着该项对用户的相对重要性，也可以看作是该项的利润

  2. q(i,Tc)q(i, T_c)：是内部效用值，也可以看作是该项i的交易数量

  3. u(i,Tc)u(i, T_c)：是在某个事务T中的项i所产生的总利润，即 u(i,Tc)=p(i)∗q(i,Tc)u(i, T_c) = p(i) * q(i, T_c)

  4. u(X,Tc)u(X, T_c)：是项集X在某个事务T中所产生总利润和，即 u(X,Tc)=∑i∈Xu(i,Tc)∪[X⊈Tc⇒u(X,Tc)=0]u(X, T_c) = \sum_{i \in X}u(i, T_c) \cup[X \not\subseteq T_c \Rightarrow u(X, T_c) = 0]。例如项集 u({a,c},T2)=u(a,T2)+u(c,T2)=5×2+1×6=16u(\{a, c\}, T_2) = u(a, T_2) + u(c, T_2) = 5 \times 2 + 1 \times 6 = 16

  5. g(X)g(X)：是包含项集X的事务集，投影映射 g:2t→2D,g(X)={t∈D∣∀i∈X,i∈t}g: 2^t \rightarrow 2^D, g(X) = \{ t \in D | \forall i \in X, i \in t \}，称g(x)为项集 X⊆IX \subseteq I 的支持集

  6. u(X)u(X)：找出所有包含项集X的事务集T，求项集X在这些事务T可以产生的总利润和，即 u(X)=∑Tc∈g(X)u(X,Tc)u(X) = \sum_{T_c \in g(X)}u(X, T_c)。例如项集 u({a,c})=u({a,c},T1)+u({a,c},T2)+u({a,c},T3)=28u(\{a, c\}) = u(\{a, c\}, T_1) + u(\{a, c\}, T_2) + u(\{a, c\}, T_3) = 28

  7. tu(Tc)tu(T_c)：求某个事务T内所有项集X的总利润和，即 tu(Tc)=∑X⊆Tcu(X,Tc)tu(T_c) = \sum_{X \subseteq T_c}u(X, T_c)

  8. twu(X)twu(X)：求包含项集X的所有事务T的总利润和，即 twu(X)=∑X⊆T∪Tc⊆Tu(X,Tc)twu(X) = \sum_{X \subseteq T \cup T_c \subseteq T}u(X, T_c)

    定理：

    twu(X)≥u(X)、twu(X)≥u(Y)[∀X⊂Y]twu(X) \ge u(X)、twu(X) \ge u(Y)[\forall X \subset Y]（TWU具备反单调性）故当twu(X) < minutil，则直接忽略项集X的超集Y

    证明：

    twu(X)=∑Tc∈g(X)tu(Tc)=∑Tc∈g(X)∑x∈Tcu(x,Tc)twu(X) = \sum_{T_c \in g(X)}tu(T_c) = \sum_{T_c \in g(X)}\sum_{x \in T_c}u(x, T_c)

    u(X)=∑Tc∈g(X)u(X,Tc)=∑Tc∈g(X)∑x∈Xu(x,Tc)u(X) = \sum_{T_c \in g(X)}u(X, T_c) = \sum_{T_c \in g(X)}\sum_{x \in X}u(x, T_c)

    这两个推导式看起来好像一样，但在最终 “x” 的所属范畴确是这两者间的最大差别，显然 X 是 Tc 的子集，自然上式成立

    当 项集X 是 项集Y 的子集时，X 内的项数量小于 Y，但 twu(X) 计算的是那些包含 整个项集X 的事务项的总效用值，随着项集X的规模扩大，能够符合twu计算条件的 事务项 就越少，故有 twu(X) >= twu(Y) >= u(Y)

  9. re(X,Tc)re(X, T_c)：是在各事务项中 大于 项集X的所有项的效用值之和，即 ∑i∈Tc∧i≻x∧∀x∈Xu(i,Tc)\sum_{i \in T_c \land i \succ x \land \forall x \in X}u(i, T_c)

  10. 效用表(Utility-list)构成：(Tc,iutil[u(X,Tc)],rutil[re(X,Tc)])(T_c, iutil[u(X, T_c)], rutil[re(X, T_c)])

  11. 剩余效用边界(remaining utility upper-bound)：这个概念是区别于“两步走”算法的关键之处，因为这个边界值比 TWU 是更为紧凑，能够裁剪更精细。定义为 reu(X)=re(X)+u(X)reu(X) = re(X) + u(X)

    定理：

    如果reu(X)<minutil，则项集X和它的超集都是低效用值项集

    证明：

    设项集X和它的超集Y，事务项T，其中有关系 X⊂Y⊆T⇒(Y∖X)⊆(T∖X)X \subset Y \subseteq T \Rightarrow (Y \setminus X) \subseteq (T \setminus X)当把所有包含项集X的事务项都计算起来，自然可知当 reu(X) < minUtil，那么超集必然也小于，那么

    u(Y,T)=u(X,T)+u(Y∖X,T)=u(X,T)+∑i∈(Y∖X)u(i,T)u(Y, T) = u(X, T) + u(Y \setminus X, T) = u(X, T) + \sum_{i \in (Y \setminus X)}u(i, T) ≤u(X,T)+∑i(∈T∖X)u(i,T)=u(X,T)+re(X,T)=reu(X,T)\le u(X, T) + \sum_{i (\in T \setminus X)}u(i, T) = u(X, T) + re(X, T) = reu(X, T)

    Ps. 结合上面的定义9也可以看出来，其实 Y\X 就是所有大于项(集)X的项组成的剩余项集

EFI-Ming算法

  1. E(α)E(\alpha)：表示根据深度优先搜索遍历所有项，得到大于 α\alpha 的所有项集，有E(α)={z∣z∈I∧z≻x,∀x∈α}E(\alpha) = \{ z | z \in I \land z \succ x, \forall x \in \alpha \}，如Fig.1，设 α={c}\alpha = \{c\}，则 E(α)={a,b,d}E(\alpha) = \{a, b, d\}

  2. 扩展项集(Extension of an itemset)：设项集 ZZ 是项集α\alpha的扩展，若 Z=α∪WZ = \alpha \cup W 且W∈2E(α)W \in 2^{E(\alpha)}，则有W≠∅W \ne \varnothing且 ZZ 是项集α\alpha的子树和枚举树

  3. 一元扩展项集(Single-item extension of an itemset)：设项集Z是项集α\alpha的一元扩展，若Z=α∪WZ = \alpha \cup W，则ZZ是项集α\alpha的子树和枚举树

    Ps.例子：假设α={d},E(α)={e,f,g}\alpha = \{ d \}, E(\alpha) = \{ e, f, g \}，那么一元扩展项集就是 {d,e}、{d,f}、{d,g}\{d, e\}、\{d, f\}、\{d, g\}，多元扩展集为 {d,e,f}、{d,f,g}、{d,e,f,g}\{d, e, f\}、\{d, f, g\}、\{d, e, f, g\}

  4. 映射事务(Projected transaction)：由 α\alpha-T={i∣i∈T∧i∈E(α)}T = \{ i | i \in T \land i \in E(\alpha) \}表示，其中T是事务项，α\alpha是项集，E(α)E(\alpha)是扩展项集（处理一行事务项，也就是该事务项排在项集α的之后的项组成的新的事务项）

  5. 映射数据库(Projected database)：由 α\alpha-D={αD = \{ \alpha-T∣T∈D∧αT | T \in D \land \alpha-T≠∅}T \ne \varnothing \}表示，其中D是数据库，α\alpha是项集，T是事务表（处理多行事务项，也就是对整个事务表进行映射事务处理，组成一个新的数据库）

    Ps. 当某交易项不包含指定的项集α，那么在映射过程中会删除这个交易项

  6. 相同的事务(Indentical transaction)：当 Ta、TbT_a、T_b 两个交易项的所有的项元素都相同时，我们认为事务项TaT_a和事务TbT_b是相同的事务

  7. 归并事务(Transaction merging)：当在数据库D中存在相同的事务项Tr1、Tr2…TrmT_{r1}、T_{r2} \dots T_{rm}时，我们设置一个新的事务TMT_M来替代这些，且每项 i∈TMi \in T_M 都被定义为 q(i,TM)=∑k=1…mq(i,Trk)q(i, T_M) = \sum_{k = 1 \dots m}q(i, T_{rk})

  8. 映射归并交易(Projected transaction merging)：在映射数据库 α\alpha-DD 中，将所有重复的事务项 Tr1、Tr2、…TrmT_{r1}、T_{r2}、\dots T_{rm}用一个新的事务项 TMT_M 来替代，且每项 i∈TMi \in T_M 都被定义为 q(i,TM)=∑k=1…mq(i,Trk)q(i, T_M) = \sum_{k = 1 \dots m}q(i, T_{rk})

  9. 交易项总顺序(Total order on transactions)：我们用 ≻T\succ_T 来表示，有以下四种情况则判定成立：

    • TbT_b 的TID全都大于 TaT_a 的TID，则Tb≻TaT_b \succ T_a
    • 当 k>mk > m 且 im−x=jk−xi_{m-x} = j_{k-x} 且对 ∀x∈Z,0≤x<m\forall x \in Z, 0 \le x < m，则 Tb≻TTaT_b \succ_T T_a
    • 当 ∃x\exists x 且 0≤x<y<min(m,k)0 \le x < y < min(m, k)，有 jk−x≻im−yj_{k-x} \succ i_{m-y} 和 im−y=jk−yi_{m-y} = j_{k-y} 成立，则 Tb≻TTaT_b \succ_T T_a
    • 其它情况是 Ta≻TTbT_a \succ_T T_b

  10. 第一阶梯项(Primary items)：设存在项集 α\alpha，那么有 Primary(α)={z∣z∈E(α)∧su(α,z)≥minuti}Primary(\alpha) = \{z|z \in E(\alpha) \land su(\alpha, z) \ge minuti\}

  11. 第二阶梯项(Secondary items)：设存在项集 α\alpha，那么有 Secondary(α)={z∣z∈E(α)∧lu(α,z)≥minutil}Secondary(\alpha) = \{z | z \in E(\alpha) \land lu(\alpha, z) \ge minutil \}

  12. 修正子树效用值(Redefined Sub-tree utility)：设存在项集 α\alpha 和项 zz，重新定义的 su(α,z)=∑T∈g(α∪{z})[u(α,T)+u(z,T)+∑i∈T∧i∈E(α∪{z}∧i∈Secondary(α))u(i,T)]su(\alpha, z) = \sum_{T \in g(\alpha \cup \{z\})}[u(\alpha, T) + u(z, T) + \sum_{i \in T \land i \in E(\alpha \cup \{z\} \land i \in Secondary(\alpha))}u(i, T)]

    Ps.因为有 lu(α,z)≥su(α,z)lu(\alpha, z) \ge su(\alpha, z)，所以 Primary(α)⊆Secondary(α)Primary(\alpha) \subseteq Secondary(\alpha)，意味着只需检索以 Primary(α)Primary(\alpha) 中的子项集与 α\alpha 的并集为根结点的子树，且其它项集不做考虑。例如项 α = {a}，Primary(α) = {c, e}，Secondary(α) = {c, d, e}，这意味着对于项集 α，我们只要检索以 α∪{c} 和 α∪{e} 为根节点的子枚举树，并且在这两个枚举树中，除了项c、d、e，其它的项都不考虑

四个关键点

  1. 需要设计一种单一算法来避免因产生候选项集问题-Utility List
  2. 通过使用“模式增长方法”来避免多花时间去考虑数据库中那些可能不会出现的模式，而且算法要减少对数据库的扫描-HDP & HTM
  3. 通过设计一个紧凑的上界来缩小检索空间，且这个上限应该比当下算法中通过保留有效上界更紧凑-local utility & revised sub-tree utility
  4. 算法在时间和空间上的操作都要尽可能地简单-FUC

HDP（High-utility Database Projection）

采用该技术的目的是通过某个项来投影出更小的数据库，达到减少扫描量的效果

原理：

当一个项集α\alpha出现在深度优先遍历结果中，存在项集x∉E(α)x \notin E(\alpha)时，通过扫描数据库在α\alpha的子树或效用值上界中，可以不用计算这些项集x的效用值。我们称这种删除后的数据库为投影数据库(projected database)，同理还有投影事务(projected transaction)

方法：

  1. 按照“≻\succ”关系对源数据库的每个交易项目进行升序排序
  2. 每个投影事务由对应的源交易上的偏移指针来表示，也称为伪投影

HTM(High-utility Transaction Merging)

采用该技术的目的通过减小数据库规模来减少对数据库扫描的开销

原理：

交易数据库中常常包含重复的交易信息(Identical transaction)，本技术需要找出这些相同的交易信息，然后在梳理它们效用值得过程中只保留一条交易信息

方法：

  1. 找出相同的交易信息(Identical transaction)，进行归并处理，用一个新的交易项 TMT_M 来代表这些重复的
  2. 对映射数据库做同样的处理，称为映射归并交易(Projected transaction merging)
  3. 最后得出交易总订单(Total order on transaction)，这之间的交易项集是按序从小到大排列

Ps.以上两个技术是配套使用的：“归并 -> 投影 -> 归并 -> 投影 -> ...”，一边通过归并使得共同前缀不断增长(上界)，一边投影事务表(缩小，因为有共同前缀，那么前缀就可以暂时不考虑)

排序≻T\succ_T

其实在每次投影开始前，都要对交易表进行交易项排序，这样是在一定程度上提高投影和归并效率，不必重复扫描数据项

排序判定有以下四个标准，我们设有交易项 Ta={i1,⋯ ,im},Tb={j1,⋯ ,jk}T_a = \{i_1, \cdots, i_m\}, T_b = \{j_1, \cdots, j_k\}：

  • 当 m=k,∀x∈[0,m∣k]m = k, \forall x \in [0, m|k]，有 ix=jxi_x = j_x，但是 b > a，则 Tb≻TTaT_b \succ_T T_a（翻译一下就是从后往前依次对比两个交易项的各项元素，发现两个交易项一模一样，差别就是交易项b的角标数字大于交易项a，所以交易项b大于交易项a）

  • 当 ∀x∈[0,m)\forall x \in [0, m)，若 k>m,im−x=jk−xk > m, i_{m-x} = j_{k - x}，则 Tb≻TTaT_b \succ_T T_a（翻译一下就是从后往前依次对比两个交易项的各项元素都相等，但交易项a没交易项b长，所以交易项b大于交易项a）

  • 当 ∀x∈[x,min(m,k)),y∈(x,min(m,k))\forall x \in [x, min(m, k)), y \in (x, min(m, k))，有 im−y=jk−y,jk−x≻im−xi_{m-y} = j_{k-y}, j_{k-x} \succ i_{m-x}，则 Tb≻TTaT_b \succ_T T_a（翻译一下就是从后往前依次对比两个交易项的各项元素，发现比到一个位置n这两个项元素有 jn≻inj_n \succ i_n，所以交易项b大于交易项a，类似于比较字符串字串大小一样）

  • 其它情况统统设定为 Ta≻TTbT_a \succ_T T_b

以下两个概念是定义了新的上边界值，不同于 Remain Utility 和 Transaction Weighted Utilization 这两个上边界值，他们分别是在搜索枚举树中的项目集α的子树中定义的，时刻动态变化的上界值，而不是像twu这样的定值，所以新提出的上界值会更紧凑，对检索空间的有效删减程度更大

Local utility

定义：

设项集 α\alpha 和项 z∈E(α)z \in E(\alpha)，有 lu(α,z)=∑T∈g(α∪{z})[u(α,T)+re(α,T)]lu(\alpha, z) = \sum_{T \in g(\alpha \cup \{z\})}[u(\alpha, T) + re(\alpha, T)]，例如：设 α={a}\alpha = \{a\}，则有 lu(α,c)=(8+27+30),lu(α,d)=30,lu(α,e)=57lu(\alpha, c) = (8+27+30), lu(\alpha, d) = 30, lu(\alpha, e) = 57（通过观察Table 1，你会发现 lu(a,c)=TU(T1)+TU(T2)+TU(T3)lu(a, c) = TU(T_1) + TU(T_2) + TU(T_3)，当然这只适用于排在第一位的项，比如对于项 {c} 就不是这样的了，有没有对 {c} 计算更简便的方法，利用前面已经算出来的值？）

定理：

设存在项集 α\alpha 和项 z∈E(α)z \in E(\alpha)，且有 z∈Zz \in Z，其中 ZZ 是 α\alpha 的扩展集，对于 lu(α,z)≥u(Z)lu(\alpha, z) \ge u(Z) 仍然成立，故当 lu(α,z)<minutillu(\alpha, z) < minutil 时，在项集 α\alpha 的扩展项集中所有包含项 z 的项集都是低效用值，简而言之就是在遍历 α\alpha 的子树中，可以忽略掉项 z 和项集 α 为根节点的子树

证明：

设 项集 Y = α ∪ {z}，项集Z 的效用值定义为 u(Z)=∑Tc∈g(Z)u(Z,Tc)=∑Tc∈g(Z)[u(α,Tc)+u(Z∖α,Tc)]u(Z) = \sum_{T_c \in g(Z)}u(Z, T_c) = \sum_{T_c \in g(Z)}[u(\alpha, T_c) + u(Z \setminus \alpha, T_c)]，那么项集α 的局部效用值(local utility)就为 lu(α,z)=∑Tc∈g(Y)[u(α,Tc)+re(α,Tc)]lu(\alpha, z) = \sum_{T_c \in g(Y)}[u(\alpha, T_c) + re(\alpha, T_c)]（这个公式是不是很像 reu = iutils + rutils？？？）。原因在于 g(Z)⊆g(Y)g(Z) \subseteq g(Y) 且 Z∖Y⊆E(α)Z \setminus Y \subseteq E(\alpha)，故必有 u(Z∖α,Tc)≤re(α,Tc)、u(Z)≤lu(α,z)u(Z \setminus \alpha, T_c) \le re(\alpha, T_c)、u(Z) \le lu(\alpha, z)

Ps. 其实这部分证明只要对着上图中的枚举树（图Fig. 1.），把上述公式套进去就很容易看出来

Sub-tree utility

定义：

设有一个项集 α\alpha 且有一个项 zz 可以对 α\alpha 通过深度优先遍历进行扩展，其中 z∈E(α)z \in E(\alpha)，那么有 su(α,z)=∑T∈g(α∪{z})[u(α,T)+u(z,T)+∑i∈T∧i∈E(α∪{z})u(i,T)]su(\alpha, z) = \sum_{T \in g(\alpha \cup \{z\})}[u(\alpha, T) + u(z, T) + \sum_{i \in T \land i \in E(\alpha \cup \{z\})}u(i, T)]，例如：设 α = {a}，则有

su(\alpha, c) = \\ [u(a, T_1) + u(c, T_1) + u(d, T_1)] + \\ [u(a, T_2) + u(c, T_2) + u(e, T_2) + u(g, T_2)] + \\ [u(a, T_3) + u(c, T_3) + u(d, T_3) + u(e, T_3) + u(f, T_3)] \\ = 61

su(α,d)=25,su(α,e)=34su(\alpha, d) = 25, su(\alpha, e) = 34

定理：

1.设存在项集 α\alpha 和项 z∈E(α)z \in E(\alpha)，对于 su(α,z)≥u(α∪{z})su(\alpha, z) \ge u(\alpha \cup \{z\}) 仍然成立，并且有 su(α,z)≥Z∧Z⊆α∪{z}su(\alpha, z) \ge Z \land Z \subseteq \alpha \cup \{z\}，故当 su(α,z)<minutilsu(\alpha, z) < minutil 时，在一元项集 α∪{z}\alpha \cup \{z\} 和它的扩展集都是低效用值，简而言之可以剪去枚举树中的 α∪{z}\alpha \cup \{z\} 子树

2.设存在项集 α、Y=α∪{z}\alpha、Y = \alpha \cup \{z\} 和项 zz，则存在不等式 twu(Y)≥lu(α,z)≥reu(Y)=su(α,z)twu(Y) \ge lu(\alpha, z) \ge reu(Y) = su(\alpha, z)

证明：

1.设项集 Y = α ∪ {z}，那么

u(Y)=∑Tc∈g(Y)u(Y,Tc)，su(α,z)=∑Tc∈g(Y)[u(α,Tc)+u(z,Tc)+∑i∈Tc∧i∈E(α∪{z})u(i,Tc)]=∑Tc∈g(Y)u(Y,Tc)+∑Tc∈g(Y)∑i∈T∧∈E(α∪{z})u(i,Tc)≥∑Tc∈g(Y)u(Y,Tc)=u(Y)u(Y) = \sum_{T_c \in g(Y)}u(Y, T_c)，\\ su(\alpha, z) = \sum_{T_c \in g(Y)}[u(\alpha, T_c) + u(z, T_c) + \sum_{i \in T_c \land i \in E(\alpha \cup \{z\})}u(i, T_c)] \\ = \sum_{T_c \in g(Y)}u(Y, T_c) + \sum_{T_c \in g(Y)}\sum_{i \in T \land \in E(\alpha \cup \{z\})}u(i, T_c) \\ \ge \sum_{T_c \in g(Y)}u(Y, T_c) = u(Y)

2.设项集Z是项集Y的扩展，那么 u(Z)=∑Tc∈g(Z)u(Y,Tc)+∑Tc∈g(Z)u(Z∖Y,Tc)u(Z) = \sum_{T_c \in g(Z)}u(Y, T_c) + \sum_{T_c \in g(Z)}u(Z \setminus Y, T_c)，因为有 g(Z)⊆g(Y),Z∖Y⊆E(α)g(Z) \subseteq g(Y), Z \setminus Y \subseteq E(\alpha)，故有 su(α,z)≥u(Z)su(\alpha, z) \ge u(Z)

下图表示EFI-Ming算法的裁剪优势：

裁剪比较

FUC(Fast Utility Counting)

采用该剪枝技术的目的是通过一种数组结构(utility-bin)在线性时间和空间内计算出上界

定义：

效用箱(utility-bin)：设 I 是数据库中的一个项集，效用箱数组 U 的长度为length(I)，在数组 U 中每项表示为 U[z](z∈I)(z \in I)，数组内存储的是效用值，效用箱数组通常是用来在O(n)时间复杂度内去高效计算上界值

使用：

  • 利用utility-bin计算twu(X)twu(X)，有公式 U[z]=U[z]+tu(T)U[z] = U[z] + tu(T)，其中 z∈Tz \in T，在处理完最后一个事务时，对于 ∀i∈I，twu(i)=U[i]\forall i \in I，twu(i) = U[i]

    下图是个示例： 计算效用箱数组

  • 利用utility-bin计算su(α,Tj)su(\alpha, T_j)，对于项集 α，

    有公式 U[z]=U[z]+u(α,Tj)+u(z,Tj)+∑i∈Tj∧i≻z∧i∈Secondary(α)u(i,Tj)U[z] = U[z] + u(\alpha, T_j) + u(z, T_j) + \sum_{i \in T_j \land i \succ z \land i \in Secondary(\alpha)}u(i, T_j)，其中 z∈Tj∧E(α)z \in T_j \land E(\alpha)，在处理完最后一个事务时，对于 ∀i∈E(α),U[i]=su(α,i)\forall i \in E(\alpha), U[i] = su(\alpha, i)

  • 利用utility-bin计算lu(α,Tj)lu(\alpha, T_j)，对于项集 α，有公式 U[z]=U[z]+u(α,Tj)+re(α,Tj)U[z] = U[z] + u(\alpha, T_j) + re(\alpha, T_j)，其中 z∈Tj∧E(α)z \in T_j \land E(\alpha)，在处理完最后一个事务时，对于 ∀i∈E(α),U[i]=lu(α,i)\forall i \in E(\alpha), U[i] = lu(\alpha, i)

关键算法实现

EFIM算法实现

检索空间剪枝伪代码

个人总结

花了很长时间去研究这个算法，不得不说很多地方设计得很精彩，例如使用utility-bin来使得twu的计算控制在线性范畴内，local utility和sub-tree utility能得出更紧凑的上界。思路可以认为是先构造一元项的枚举树，这里是第一次缩减检索空间；然后围绕枚举树，开始对事务表进行操作；通过检查出的共同前缀，来进进一步对枚举树进行删减，这是第二次缩减检索空间；利用共同前缀，对项e进行一个个扩展(增长模式法)，留下符合的项集并输出，删除不符合条件的；重复进行以上过程最终枚举树无法延伸即可结束。在这个过程中还有各种参数的转换、留存，详情可见代码。

参考

  1. EFIM算法演示教程-www.philippe-fournier-viger.com/spmf/EFIM.p…
  2. EFIM: A Fast and Memory Efficient Algorithm for High-Utility Itemset Mining-philippe-fournier-viger.com/EFIM_JOURNA… KAIS 2016.pdf
  3. EFIM原作的ppt-www.philippe-fournier-viger.com/EFIM_and_EF…
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