动态规划

卡特兰数（卡塔兰数），英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。

⼀定要注意，我们的背包问题本质上求的是「组合」数问题，⽽这⼀道题求的是「排列数」问题。 因此我们不能被这道题给迷惑，还是⽤常规的 dp 思想来解决这道题。

每个物品除了重量weights[i]、价值values[i]，还有个数量属性nums[i]。需要三层循环。

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i]。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

01背包是背包问题中最简单的问题。01背包的约束条件是给定几种物品，每种物品有且只有一个，并且有权值和体积两个属性。在01背包问题中，因为每种物品只有一个，对于每个物品只需要考虑选与不选两种情况。

如果我们的dp多开了一行一列，可以在字符串的前面多加上一个空格（s=“ ”+s）,这样可以保证dp数组和字符串数组的下标映射关系是一一对应的，方便我们书写代码。

1）回文字符串：是正着读和倒过来读一样的字符串； 2）子字符串：是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

子序列：是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，`[3,6,2,7]` 是数组 `[0,3,1,6,2,2,7]` 的子序列。

1. 最大子数组和 2. 环形子数组的最大和 3. 乘积最大子数组 4. 乘积为正数的最长子数组长度 5. 等差数列划分 6. 最长湍流子数组 7. 单词拆分 8. 环绕字符串中唯一的子字符串

与传统的单状态DP问题相比，多状态DP问题能够处理更多维度的状态信息，以应对更复杂的决策过程和状态转移关系。

路径问题： 1. 不同路径 2. 不同路径Ⅱ 3. 珠宝的最高价值 4. 下降路径最小和 5. 最小路径和 6. 地下城游戏

思路分析步骤 1、状态表 2、状态转移方程 3、初始化 4、填表顺序 5、返回值 代码编写步骤 1、构造 dp 表 2、初始化+边界处理 3、填表(抄状态转移方程) 4、返回结果