专题二：路径问题

lvo
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1 不同路径

1.1 题目链接

62. 不同路径

1.2 题目描述

一个机器人位于一个 m x n **网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

 

示例 1：

输入： m = 3, n = 7
输出： 28

示例 2：

输入： m = 3, n = 2
输出： 3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入： m = 7, n = 3
输出： 28

示例 4：

输入： m = 3, n = 3
输出： 6

 

提示：

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

1.3 解法

算法思路：

  1. 状态表⽰：

    对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

    • i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；
    • ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。

    这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：

    dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式.

  2. 状态转移⽅程：

    简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表⽰到达 [i, j] 位置的⽅法数，那么到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：

    • i. 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
    • ii. 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。

    由于我们要求的是有多少种⽅法，因此状态转移⽅程就呼之欲出了： dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 。

  3. 初始化：

    可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

    • i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
    • ii. 「下标的映射关系」。 在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。

  4. 填表顺序：

    根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候「从左往右」。

  5. 返回值：

    根据「状态表⽰」，我们要返回 dp[m][n] 的值。

1.4 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        dp[0][1] = 1;
        for(int i = 1; i <= m; i++)  // 从上往下
            for(int j = 1; j <= n; j++)  // 从左往右
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

2 不同路径 II

2.1 题目链接

63. 不同路径 II

2.2 题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

 

示例 1：

输入： obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出： 2
解释： 3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入： obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出： 1

 

提示：

  • m == obstacleGrid.length
  • n == obstacleGrid[i].length
  • 1 <= m, n <= 100
  • obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

2.3 解法（动态规划）：

算法思路：

本题为不同路径的变型，只不过有些地⽅有「障碍物」，只要在「状态转移」上稍加修改就可解决。

  1. 状态表⽰：

    对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

    • i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；
    • ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。

    这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：

    dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。

  2. 状态转移：

    简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表⽰到达 [i, j] 位置的⽅法数，那么到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：

    • i. 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
    • ii. 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。

    但是， [i - 1, j] 与 [i, j - 1] 位置都是可能有障碍的，此时从上⾯或者左边是不可能到达 [i, j] 位置的，也就是说，此时的⽅法数应该是 0。

    由此我们可以得出⼀个结论，只要这个位置上「有障碍物」，那么我们就不需要计算这个位置上的值，直接让它等于 0 即可。

  3. 初始化：

    可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

    • i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
    • ii. 「下标的映射关系」。

    在本题中，添加⼀⾏，并且添加⼀列后，只需将 dp[1][0] 的位置初始化为 1 即可。

  4. 填表顺序：

    根据「状态转移」的推导，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，每⼀⾏「从左往右」。

  5. 返回值：

    根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp[m][n] 。

2.4 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size(), n =obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        dp[1][0] = 1;
        for(int i = 1;i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                if(obstacleGrid[i - 1][j - 1] == 0)
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
        return dp[m][n];
    }
};

3 珠宝的最高价值

3.1 题目链接

LCR 166. 珠宝的最高价值

3.2 题目描述

现有一个记作二维矩阵 frame 的珠宝架，其中 frame[i][j] 为该位置珠宝的价值。拿取珠宝的规则为：

  • 只能从架子的左上角开始拿珠宝
  • 每次可以移动到右侧或下侧的相邻位置
  • 到达珠宝架子的右下角时，停止拿取

注意：珠宝的价值都是大于 0 的。除非这个架子上没有任何珠宝，比如 frame = [[0]]。

 

示例 1:

输入: frame = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最高价值的珠宝

 

提示：

  • 0 < frame.length <= 200
  • 0 < frame[0].length <= 200

3.3 解法（动态规划）：

算法思路：

  1. 状态表⽰：

    对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

    • i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；
    • ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。

    这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：

    dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，此时的最⼤价值。

  2. 状态转移⽅程：

    对于 dp[i][j] ，我们发现想要到达 [i, j] 位置，有两种⽅式：

    • i. 从 [i, j] 位置的上⽅ [i - 1, j] 位置，向下⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为 dp[i - 1][j] + grid[i][j] ；
    • ii. 从 [i, j] 位置的左边 [i, j - 1] 位置，向右⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为 dp[i][j - 1] + grid[i][j]

    我们要的是最⼤值，因此状态转移⽅程为：

    • dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j] 。

  3. 初始化：

    可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

    • i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
    • ii. 「下标的映射关系」。

    在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有的值都为 0 即可。

  4. 填表顺序：

    根据「状态转移⽅程」，填表的顺序是「从上往下填写每⼀⾏」，「每⼀⾏从左往右」。

  5. 返回值：

    根据「状态表⽰」，我们应该返回 dp[m][n] 的值。

3.4 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) {
        int m = frame.size(), n =frame[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m +1,vector<int> (n +1));
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <=n; j++)
                dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + frame[i - 1][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

4 下降路径最小和

4.1 题目链接

931. 下降路径最小和

4.2 题目描述

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 **的 ****最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

 

示例 1：

输入： matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出： 13
解释： 如图所示，为和最小的两条下降路径

示例 2：

输入： matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出： -59
解释： 如图所示，为和最小的下降路径

 

提示：

  • n == matrix.length == matrix[i].length
  • 1 <= n <= 100
  • -100 <= matrix[i][j] <= 100

4.3 解法（动态规划）：

算法思路：

关于这⼀类题，由于我们做过类似的，因此「状态表⽰」以及「状态转移」是⽐较容易分析出来的。

⽐较难的地⽅可能就是对于「边界条件」的处理。

  1. 状态表⽰：

    对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

    • i. 从 [i, j] 位置出发，到达⽬标位置有多少种⽅式；
    • ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，⼀共有多少种⽅式

    这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：

    dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最⼩和。

  2. 状态转移⽅程：

    对于普遍位置 [i, j] ，根据题意得，到达 [i, j] 位置可能有三种情况：

    • i. 从正上⽅ [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置；
    • ii. 从左上⽅ [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置；
    • iii. 从右上⽅ [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置；

    我们要的是三种情况下的「最⼩值」，然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值。

    于是 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j +

1])) + matrix[i][j] 。

  1. 初始化：

    可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

    • i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
    • ii. 「下标的映射关系」。 在本题中，需要「加上⼀⾏」，并且「加上两列」。所有的位置都初始化为⽆穷⼤，然后将第⼀⾏初始化为 0 即可。

  2. 填表顺序：

    根据「状态表⽰」，填表的顺序是「从上往下」。

  3. 返回值：

    注意这⾥不是返回 dp[m][n] 的值！

    题⽬要求「只要到达最后⼀⾏」就⾏了，因此这⾥应该返回「 dp 表中最后⼀⾏的最⼩值」。

4.4 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int> (n + 2, INT_MAX));
        for(int j = 0; j < n + 2; j++) dp[0][j] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i - 1][j - 1];
        int ret = INT_MAX;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            ret = min(ret, dp[n][j]);
        return ret;
    }
};

5 最小路径和

5.1 题目链接

64. 最小路径和

5.2 题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明： 每次只能向下或者向右移动一步。

 

示例 1：

输入： grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出： 7
解释： 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入： grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出： 12

 

提示：

  • m == grid.length
  • n == grid[i].length
  • 1 <= m, n <= 200
  • 0 <= grid[i][j] <= 200

5.3 解法（动态规划）：

算法思路：

像这种表格形式的动态规划，是⾮常容易得到「状态表⽰」以及「状态转移⽅程」的，可以归结到「不同路径」⼀类的题⾥⾯。

  1. 状态表⽰：

    对于这种路径类的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

    • i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；
    • ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。

    这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：

    dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置处，最⼩路径和是多少。

  2. 状态转移：

    简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表⽰到达 到达 [i, j] 位置处的最⼩路径和，那么到达[i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：

    • i. 从 [i - 1, j] 向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
    • ii. 从 [i, j - 1] 向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。

    由于到 [i, j] 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 [i, j] 位置上本⾝的值即可。

    也就是： dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

  3. 初始化

    可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

    • i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
    • ii. 「下标的映射关系」。

    在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让

    dp[0][1] = dp[1][0] = 1 即可。

  4. 填表顺序：

    根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，每⼀⾏「从左往后」。

  5. 返回值：

    根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp[m][n] 。

5.4 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n =grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        dp[0][1] = dp[1][0] = 0;
        for(int i = 1;i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};

6 地下城游戏

6.1 题目链接

174. 地下城游戏

6.2 题目描述

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意： 任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

 

示例 1：

输入： dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出： 7
解释： 如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：

输入： dungeon = [[0]]
输出： 1

 

提示：

  • m == dungeon.length
  • n == dungeon[i].length
  • 1 <= m, n <= 200
  • -1000 <= dungeon[i][j] <= 1000

6.3 解法（动态规划）

算法思路：

  1. 状态表⽰：

    这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。

    这个时候我们要换⼀种状态表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。

    综上所述，定义状态表⽰为：

    dp[i][j] 表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。

  2. 状态转移⽅程：

    对于 dp[i][j] ，从 [i, j] 位置出发，下⼀步会有两种选择（为了⽅便理解，设 dp[i][j] 的最终答案是 x ）：

    • i. ⾛到右边，然后⾛向终点 那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于右边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] 。

    通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] ；

    • ii. ⾛到下边，然后⾛向终点 那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。

    通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] ；

综上所述，我们需要的是两种情况下的最⼩值，因此可得状态转移⽅程为： dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个⽐较⼤的正数的话， dp[i][j] 的值可能变成 0 或者负数。也就是最低点数会⼩于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果⼩于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取⼀个最⼤值即可： dp[i][j] = max(1, dp[i][j])

  1. 初始化：

    可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点

    • i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
    • ii. 「下标的映射关系」。

在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让 dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。

  1. 填表顺序：

    根据「状态转移⽅程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。

  2. 返回值：

    根据「状态表⽰」，我们需要返回 dp[0][0] 的值。

6.4 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        int m = dungeon.size(), n =dungeon[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, INT_MAX));
        dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1;
        for(int i = m - 1; i >= 0; i--)
        {
            for(int j = n - 1; j >= 0; j--)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j];
                dp[i][j] = max(1, dp[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
};
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