专题十二：卡特兰数

1 不同的二叉搜索树

1.1 题目链接

96. 不同的二叉搜索树

1.2 题目描述

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入： n = 3
输出： 5

示例 2：

输入： n = 1
输出： 1

提示：

• 1 <= n <= 19

1.3 解法（动态规划）

算法思路：

这道题属于「卡特兰数」的⼀个应⽤，同样能解决的问题还有「合法的进出栈序列」、「括号匹配的括号序列」、「电影购票」等等。如果感兴趣的同学可以「百度」搜索卡特兰数，会有很多详细的介绍。

1. 状态表⽰：

   • 这道题的状态表⽰就是根据「拆分出相同⼦问题」的⽅式，抽象出来⼀个状态表⽰：
   • 当我们在求个数为 n 的 BST 的个数的时候，当确定⼀个根节点之后，左右⼦树的结点「个数」也确定了。此时左右⼦树就会变成相同的⼦问题，因此我们可以这样定义状态表⽰：
   • dp[i] 表⽰：当结点的数量为 i 个的时候，⼀共有多少颗 BST 。
   • 难的是如何推导状态转移⽅程，因为它跟我们之前常⻅的状态转移⽅程不是很像。

2. 状态转移⽅程：

   • 对于 dp[i] ，此时我们已经有 i 个结点了，为了⽅便叙述，我们将这 i 个结点排好序，并且编上 1, 2, 3, 4, 5.....i 的编号。
   • 那么，对于所有不同的 BST ，我们可以按照下⾯的划分规则，分成不同的 i 类：「按照不同的头结点来分类」。分类结果就是：
     • i. 头结点为 1 号结点的所有 BST
     • ii. 头结点为 2 号结点的所有 BST
     • iii. ......
   • 如果我们能求出「每⼀类中的 BST 的数量」，将所有类的 BST 数量累加在⼀起，就是最后结果。
   • 接下来选择「头结点为 j 号」的结点，来分析这 i 类 BST 的通⽤求法。
   • 如果选择「 j 号结点来作为头结点」，根据 BST 的定义：
     • i. j 号结点的「左⼦树」的结点编号应该在 [1, j - 1] 之间，⼀共有 j - 1 个结点。
       • 那么 j 号结点作为头结点的话，它的「左⼦树的种类」就有 dp[j - 1] 种（回顾⼀下我们 dp 数组的定义哈）；
     • ii. j 号结点的「右⼦树」的结点编号应该在 [j + 1, i] 之间，⼀共有 i - j 个结点。那么 j 号结点作为头结点的话，它的「右⼦树的种类」就有 dp[i - j] 种；
   • 根据「排列组合」的原理可得： j 号结点作为头结点的 BST 的种类⼀共有 dp[j - 1] * dp[i - j] 种！
   • 因此，我们只要把「不同头结点的 BST 数量」累加在⼀起，就能得到 dp[i] 的值：
     • dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j] ( 1 <= j <= i) 。「注意⽤的是 += ，并且 j 从 1 变化到 i 」。

3. 初始化：

   • 我们注意到，每⼀个状态转移⾥⾯的 j - 1 和 i - j 都是⼩于 i 的，并且可能会⽤到前⼀个的状态（当 i = 1，j = 1 的时候，要⽤到 dp[0] 的数据）。因此要先把第⼀个元素初始化。
   • 当 i = 0 的时候，表⽰⼀颗空树，「空树也是⼀颗⼆叉搜索树」，因此 dp[0] = 1 。

4. 填表顺序：

   根据「状态转移⽅程」，易得「从左往右」。

5. 返回值：

   根据「状态表⽰」，我们要返回的是 dp[n] 的值。

1.4 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp (n + 1);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= i; j++)
                dp[i] += dp[i - j] * dp[j - 1];
        return dp[n];
    }
};