Earth Mover's Distance 原理解析

Earth Mover's Distance距离即EMD，是由2000年IJCV期刊文章《The Earth Mover's Distance as a Metric for Image Retrieval》提出的一种图像相似度度量方法，从文章标题也可以得知，最初EMD的概念是用于图像检索的。后来因为其各种优点，逐渐用到其他方面的相似度度量。该部分主要理解EMD的概念与原理。

几个主要的概念

signature 定义为一系列的重要特征，可以写作 $s=(m,w)$ , $m$ 是某个特征， $w$ 是该特征的权重。

$P=\{ (P_1,w_{p_1}),(P_2,w_{p_2}),(P_3,w_{p_3}),...,(P_M,w_{p_M})\}$ , $Q=\{ (Q_1,w_{q_1}),(Q_2,w_{q_2}),(Q_3,w_{q_3}),...,(Q_N,w_{Q_N})\}$
EMD本身是一个线性规划问题。假设 $p_i$ 是一张图像的某个特征， $w_{p_i}$ 是特征 $p_i$ 的权重,而 $q_j$ 是另一张图像的某特征， $w_{q_j}$ 是特征 $w_{q_j}$ 的权重。
一个特征 $P$ 集合和特征 $Q$ 集合之间的距离矩阵 $[d_{ij}]$ ，每一项 $[d_{ij}]$ 代表 $P_i$ 和 $Q_j$ 的距离（比如L1、L2距离等），可知 $[d_{ij}]$ 是个 $M*N$ 矩阵。

目标

希望找到一个flow，它也是一个矩阵 $F=[f_{ij}]$ ，每一项 $f_{ij}$ 代表从 $P_i$ 到 $Q_j$ 的流动数量， $d_{ij}$ 是 $p_i$ 位置到 $q_j$ 位置的代价（距离）,从而最小化全局的代价函数：

$WORK(P,Q,E)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}d_{ij}f_{ij}$

这个流动量就是线性规划的解

线性规划表达式：
线性规划示意图
对于这篇论文来说，子图之间的相似度，线性规划表达式：

Pyramid Match Graph Kernel （Histogram intersection 直方图交叉核）原理解析

方法最初来自《The Pyramid Match Kernel:Discriminative Classification with Sets of Image Features》这篇论文，用来对特征构成的直方图进行相似度匹配.

基本原理

PM的工作原理是将特征空间划分为越来越大的区域，并对每个级别的匹配进行加权求和。
如果他们属于同一地区，则说两点相符。较大区域内的匹配加权低于较小区域的匹配。

其中 $D =2^ld$ $l$ from $0$ to $L$

一维示意图