斐波那契数列中连续10项的和总是能被11整除吗？

背景

《斐波那契数列：定义自然法则的数学》 一书提到，斐波那契数列中连续 $10$ 项的和总是能被 $11$ 整除。这样的小结论，固然可以记下来，但是如果我们有比较通用的办法，来探索斐波那契数列中连续的 $m$ 项的和满足怎样的规律，则更为有趣。

结论

$k$	斐波那契数列中连续 ? 项的和一定能被 $k$ 整除
$2$	$3$
$3$	$8$
$4$	$6$
$5$	$20$
$6$	$24$
$7$	$16$
$8$	$12$
$9$	$24$
$10$	$60$
$11$	$10$

正文

斐波那契数列

$F_1=1,F_2=1$，对满足 $n\ge 3$ 的 $n$ 而言，$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$。满足这样的规则的数列，我们称其为斐波那契数列。

简单的分析

对比较小的 $n$ 来说，$F_n$ 的值列举如下 ⬇️

$n$	$F_n$
$1$	$1$
$2$	$1$
$3$	$2$
$4$	$3$
$5$	$5$
$6$	$8$
$7$	$13$
$8$	$21$
$9$	$34$
$10$	$55$
$11$	$89$
$12$	$144$
$13$	$233$
$14$	$377$
$15$	$610$
$16$	$987$
$17$	$1597$
$18$	$2584$
$19$	$4181$
$20$	$6765$

生成上方表格的 $Python3$ 代码如下 ⬇️

print(r'| $n$ | $F_n$ |')
print('| --- | --- |')

curr, next = 1, 1
for i in range(1, 21):
    print(f'| ${i}$ | ${curr}$ |')
    curr, next = next, (curr + next)

连续 2 项的和

既然想探索连续项的和有什么规律，那么就先看连续 $2$ 项的和吧 ⬇️

$n$	$F_n$	$F_n+F_{n+1}$
$1$	$1$	$2$
$2$	$1$	$3$
$3$	$2$	$5$
$4$	$3$	$8$
$5$	$5$	$13$
$6$	$8$	$21$
$7$	$13$	$34$
$8$	$21$	$55$
$9$	$34$	$89$
$10$	$55$	$144$

考虑到 $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$，那么斐波那契数列中连续 $2$ 项的和仍旧会是数列中的某一项。

连续 3 项的和

我们再看看连续 $3$ 项的和。$F_n+F_{n+1}+F_{n+2}=F_{n+2}+F_{n+2}=2 F_{n+2}$。所以斐波那契数列中，连续 $3$ 项的和，一定是偶数。

一般化的分析

如果逐个观察不同 $m$ 时，$m$ 个连续项的和的规律，可能有点耗时间。我们换个思路，既然是想探索连续 $m$ 项的和的规律，假设连续 $m$ 项的和可以被 $k$ 整除，那么我们只需要分析 $F_n\bmod k$ 的规律即可。

$k=2$

我们还是从 $2$ 开始（但是现在分析的是 $k=2$ 的情况）。不难写出以下代码

print(r'| $n$ | $F_n$ | $F_n\bmod 2$')
print('| --- | --- | --- |')

curr, next = 1, 1
for i in range(1, 21):
    print(f'| ${i}$ | ${curr}$ | ${curr%2}$ |')
    curr, next = next, (curr + next)

它生成的表格如下

$n$	$F_n$	$F_n\bmod 2$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$1$
$3$	$2$	$0$
$4$	$3$	$1$
$5$	$5$	$1$
$6$	$8$	$0$
$7$	$13$	$1$
$8$	$21$	$1$
$9$	$34$	$0$
$10$	$55$	$1$
$11$	$89$	$1$
$12$	$144$	$0$
$13$	$233$	$1$
$14$	$377$	$1$
$15$	$610$	$0$
$16$	$987$	$1$
$17$	$1597$	$1$
$18$	$2584$	$0$
$19$	$4181$	$1$
$20$	$6765$	$1$

$F_n\bmod 2$ 的规律很明显，它以 $1,1,0$ 为周期，我们可以用数学归纳法证明这个规律是成立的。由此可知，斐波那契数列中连续 $3$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)

所以斐波那契数列中连续 $3$ 项的和可以被 $2$ 整除，这和我们刚才的分析是一致的。

$k=3$

我们再看 $k=3$ 的情况，将代码稍做调整即可 ⬇️

print(r'| $n$ | $F_n$ | $F_n\bmod 3$')
print('| --- | --- | --- |')

curr, next = 1, 1
for i in range(1, 21):
    print(f'| ${i}$ | ${curr}$ | ${curr%3}$ |')
    curr, next = next, (curr + next)

它生成的表格如下

$n$	$F_n$	$F_n\bmod 3$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$1$
$3$	$2$	$2$
$4$	$3$	$0$
$5$	$5$	$2$
$6$	$8$	$2$
$7$	$13$	$1$
$8$	$21$	$0$
$9$	$34$	$1$
$10$	$55$	$1$
$11$	$89$	$2$
$12$	$144$	$0$
$13$	$233$	$2$
$14$	$377$	$2$
$15$	$610$	$1$
$16$	$987$	$0$
$17$	$1597$	$1$
$18$	$2584$	$1$
$19$	$4181$	$2$
$20$	$6765$	$0$

这次的周期稍长一些：$1,1,2,0,2,2,1,0$（虽然是观察出来的规律，但是可以用数学归纳法证明其正确性）。

由此可知，斐波那契数列中连续 $8$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)

所以斐波那契数列的连续 $8$ 项的和，一定能被 $3$ 整除。

$k=4,5,6$

我们再看 $k=4,5,6$ 的情况，将代码稍做调整即可 ⬇️

print(r'| $n$ | $F_n$ | $F_n\bmod 4$ | $F_n\bmod 5$ |$F_n\bmod 6$ |')
print('| --- | --- | --- | --- | --- | ')

curr, next = 1, 1
for i in range(1, 21):
    print(f'| ${i}$ | ${curr}$ | ${curr%4}$ | ${curr%5}$ | ${curr%6}$ |')
    curr, next = next, (curr + next)

$n$	$F_n$	$F_n\bmod 4$	$F_n\bmod 5$	$F_n\bmod 6$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$1$	$1$	$1$
$3$	$2$	$2$	$2$	$2$
$4$	$3$	$3$	$3$	$3$
$5$	$5$	$1$	$0$	$5$
$6$	$8$	$0$	$3$	$2$
$7$	$13$	$1$	$3$	$1$
$8$	$21$	$1$	$1$	$3$
$9$	$34$	$2$	$4$	$4$
$10$	$55$	$3$	$0$	$1$
$11$	$89$	$1$	$4$	$5$
$12$	$144$	$0$	$4$	$0$
$13$	$233$	$1$	$3$	$5$
$14$	$377$	$1$	$2$	$5$
$15$	$610$	$2$	$0$	$4$
$16$	$987$	$3$	$2$	$3$
$17$	$1597$	$1$	$2$	$1$
$18$	$2584$	$0$	$4$	$4$
$19$	$4181$	$1$	$1$	$5$
$20$	$6765$	$1$	$0$	$3$

$F_n\bmod 4$ 以 $1,1,2,3,1,0$ 为周期。

由此可知，斐波那契数列中连续 $6$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)

所以斐波那契数列的连续 $6$ 项的和，一定能被 $4$ 整除。

继续分析 $k=5,6$ 的情况时，会发现周期比较长，一眼似乎看不出来周期是什么。此时，我们再换换思路。如果 $F_n\bmod k$ 这个数列存在某个周期 $T$，那么

• $F_1\bmod k= F_{1+T}\bmod k$
• $F_2\bmod k= F_{2+T}\bmod k$
• $F_3\bmod k= F_{3+T}\bmod k$
• $\cdots$

那么 $(F_n\bmod k,F_{n+1}\bmod k)$ 这样的数对（这里的小括号表示一对数字）也会以周期 $T$ 重复出现，即

• $(F_1\bmod k, F_2\bmod k)= (F_{1+T}\bmod k, F_{2+T}\bmod k)$
• $(F_2\bmod k, F_3\bmod k)= (F_{2+T}\bmod k, F_{3+T}\bmod k)$
• $(F_3\bmod k, F_4\bmod k)= (F_{3+T}\bmod k, F_{4+T}\bmod k)$
• $\cdots$

为了方便讨论，我们记 $a_n=(F_n\bmod k,F_{n+1}\bmod k)$。

$0\le (F_n\bmod k) \lt k$ 总是成立，所以 $a_n$ 的可能取值只有 $k\times k=k^2$ 个（有的值可能取不到）。根据鸽笼原理，$a_1,a_2,\cdots,a_{k^2+1}$ 这 $k^2+1$ 个值必然有重复的（因为 $a_n$ 的可能取值只有 $k^2$ 个）。假设第一个重复出现的值为 $a_{dup}$ 且 $a_{dup}=a_{dup-t}$。注意到

所以

也就是说，从 $a_{n}$ 可以直接得出 $a_{n+1}$。 既然 $a_{dup}=a_{dup-t}$，那么必然有 ⬇️

• $a_{dup+1}=a_{dup-t+1}$
• $a_{dup+2}=a_{dup-t+2}$
• $a_{dup+3}=a_{dup-t+3}$
• $\cdots$

那么对任意 $n\ge dup$，$a_n=a_{n-t}$ 都成立。

刚才提到从 $a_{n}$ 可以直接得出 $a_{n+1}$，那么如果知道 $a_{n+1}$，能否反推出 $a_n$ 呢？我们试一试 ⬇️

看来从 $a_{n+1}$ 也可以直接得出 $a_{n}$。

有趣的部分来了。考虑到 $a_{dup}=a_{dup-t}$，根据刚才提到的 “从 $a_{n+1}$ 也可以直接得出 $a_{n}$” 可知以下 $dup-t$ 个等式都成立 ⬇️

• $a_{dup}=a_{dup-t}$
• $a_{dup-1}=a_{dup-t-1}$
• $a_{dup-2}=a_{dup-t-2}$
• $\cdots$
• $a_{1+t}=a_{1}$

所以 $a_{1+t}$ 会是第一个重复的值，它的值和 $a_1$ 相等。如此说来，我们只要找到第一个和 $a_1$ 相等的 $a_n$（$n\ge2$），就可以得出周期 $t=n-1$ 了。由于 $F_n\bmod k=a_n[0]$，那么 $t$ 自然也是 $F_n\bmod k$ 的（一个）周期。至于 $k\mid\sum_{n=1}^{n=t}{(F_n\bmod k)}$ 是否成立，我们可以这样思考 ⬇️

• $F_1=F_3-F_2$
• $F_2=F_4-F_3$
• $F_3=F_5-F_4$
• $\cdots$
• $F_t=F_{t+2}-F_{t+1}$

对这个 $t$ 个等式求和，得到 ⬇️

根据模运算的性质，可以得出

注意到 $F_n\bmod {k}$ 以 $t$ 为周期，那么 $F_{t+2}\equiv F_2 \pmod {k}$。所以

即 $k\mid \sum_{n=1}^{n=t}{(F_n\bmod k)}$ 成立。

我用 $Python3$ 实现了这样的逻辑 ⬇️ （豆包 提供了一些帮助）

import argparse

def main():
    parser = argparse.ArgumentParser(description="斐波那契模k周期计算")
    parser.add_argument("-k", type=int, required=True, help="取模的k值，正整数")
    args = parser.parse_args()
    k = args.k

    if k <= 0:
        raise ValueError("k必须为正整数")

    print('```text')
    appeared_fib_pairs = set()
    fib_pair = (1, 1)
    n = 1
    seen_num = []
    while True:
        if fib_pair in appeared_fib_pairs:
            break
        appeared_fib_pairs.add(fib_pair)
        seen_num.append(fib_pair[0])
        print(f'{n}: {fib_pair}')
        next_fib_pair = (fib_pair[1], (fib_pair[0] + fib_pair[1]) % k)
        fib_pair = next_fib_pair
        n += 1
    print('```')

    conclusion = f'''
由此可知，斐波那契数列中连续 ${len(appeared_fib_pairs)}$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)
$$
\\sum_{{n=m}}^{{n=m+{len(appeared_fib_pairs)-1}}} F_n \\equiv {'+'.join(map(str, seen_num))}\\equiv 0\\pmod {{{k}}}
$$ 
所以斐波那契数列的连续 ${len(appeared_fib_pairs)}$ 项的和，一定能被 ${k}$ 整除。
'''
    print(conclusion)


if __name__ == "__main__":
    main()

请将以上代码保存为 find_period.py。运行以下命令可以处理 $k=5$ 的情况

python3 find_period.py -k 5

完整的运行结果如下

1: (1, 1)
2: (1, 2)
3: (2, 3)
4: (3, 0)
5: (0, 3)
6: (3, 3)
7: (3, 1)
8: (1, 4)
9: (4, 0)
10: (0, 4)
11: (4, 4)
12: (4, 3)
13: (3, 2)
14: (2, 0)
15: (0, 2)
16: (2, 2)
17: (2, 4)
18: (4, 1)
19: (1, 0)
20: (0, 1)

由此可知，斐波那契数列中连续 $20$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)

所以斐波那契数列的连续 $20$ 项的和，一定能被 $5$ 整除。

运行以下命令可以处理 $k=6$ 的情况

python3 find_period.py -k 6

完整的运行结果如下

1: (1, 1)
2: (1, 2)
3: (2, 3)
4: (3, 5)
5: (5, 2)
6: (2, 1)
7: (1, 3)
8: (3, 4)
9: (4, 1)
10: (1, 5)
11: (5, 0)
12: (0, 5)
13: (5, 5)
14: (5, 4)
15: (4, 3)
16: (3, 1)
17: (1, 4)
18: (4, 5)
19: (5, 3)
20: (3, 2)
21: (2, 5)
22: (5, 1)
23: (1, 0)
24: (0, 1)

由此可知，斐波那契数列中连续 $24$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)

所以斐波那契数列的连续 $24$ 项的和，一定能被 $6$ 整除。

$k=7,8,9,10$

我们再看 $k=7,8,9,10$ 的情况。

运行以下命令可以处理 $k=7$ 的情况

python3 find_period.py -k 7

完整的运行结果如下

1: (1, 1)
2: (1, 2)
3: (2, 3)
4: (3, 5)
5: (5, 1)
6: (1, 6)
7: (6, 0)
8: (0, 6)
9: (6, 6)
10: (6, 5)
11: (5, 4)
12: (4, 2)
13: (2, 6)
14: (6, 1)
15: (1, 0)
16: (0, 1)

由此可知，斐波那契数列中连续 $16$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)

所以斐波那契数列的连续 $16$ 项的和，一定能被 $7$ 整除。

运行以下命令可以处理 $k=8$ 的情况

python3 find_period.py -k 8

完整的运行结果如下

1: (1, 1)
2: (1, 2)
3: (2, 3)
4: (3, 5)
5: (5, 0)
6: (0, 5)
7: (5, 5)
8: (5, 2)
9: (2, 7)
10: (7, 1)
11: (1, 0)
12: (0, 1)

由此可知，斐波那契数列中连续 $12$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)

所以斐波那契数列的连续 $12$ 项的和，一定能被 $8$ 整除。

运行以下命令可以处理 $k=9$ 的情况

python3 find_period.py -k 9

完整的运行结果如下

1: (1, 1)
2: (1, 2)
3: (2, 3)
4: (3, 5)
5: (5, 8)
6: (8, 4)
7: (4, 3)
8: (3, 7)
9: (7, 1)
10: (1, 8)
11: (8, 0)
12: (0, 8)
13: (8, 8)
14: (8, 7)
15: (7, 6)
16: (6, 4)
17: (4, 1)
18: (1, 5)
19: (5, 6)
20: (6, 2)
21: (2, 8)
22: (8, 1)
23: (1, 0)
24: (0, 1)

由此可知，斐波那契数列中连续 $24$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)

所以斐波那契数列的连续 $24$ 项的和，一定能被 $9$ 整除

$k=10$ 的情况，我在 斐波那契数列的个位数出现的周期是多少？ 一文里专门进行了讨论。

运行以下命令可以处理 $k=10$ 的情况

python3 find_period.py -k 10

完整的运行结果如下

1: (1, 1)
2: (1, 2)
3: (2, 3)
4: (3, 5)
5: (5, 8)
6: (8, 3)
7: (3, 1)
8: (1, 4)
9: (4, 5)
10: (5, 9)
11: (9, 4)
12: (4, 3)
13: (3, 7)
14: (7, 0)
15: (0, 7)
16: (7, 7)
17: (7, 4)
18: (4, 1)
19: (1, 5)
20: (5, 6)
21: (6, 1)
22: (1, 7)
23: (7, 8)
24: (8, 5)
25: (5, 3)
26: (3, 8)
27: (8, 1)
28: (1, 9)
29: (9, 0)
30: (0, 9)
31: (9, 9)
32: (9, 8)
33: (8, 7)
34: (7, 5)
35: (5, 2)
36: (2, 7)
37: (7, 9)
38: (9, 6)
39: (6, 5)
40: (5, 1)
41: (1, 6)
42: (6, 7)
43: (7, 3)
44: (3, 0)
45: (0, 3)
46: (3, 3)
47: (3, 6)
48: (6, 9)
49: (9, 5)
50: (5, 4)
51: (4, 9)
52: (9, 3)
53: (3, 2)
54: (2, 5)
55: (5, 7)
56: (7, 2)
57: (2, 9)
58: (9, 1)
59: (1, 0)
60: (0, 1)

由此可知，斐波那契数列中连续 $60$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)

所以斐波那契数列的连续 $60$ 项的和，一定能被 $10$ 整除。

$k=11$ 的情况

运行以下命令可以处理 $k=11$ 的情况

python3 find_period.py -k 11

完整的运行结果如下

1: (1, 1)
2: (1, 2)
3: (2, 3)
4: (3, 5)
5: (5, 8)
6: (8, 2)
7: (2, 10)
8: (10, 1)
9: (1, 0)
10: (0, 1)

由此可知，斐波那契数列中连续 $10$ 项的和满足 ⬇️ ($m$ 是任意正整数)

所以斐波那契数列的连续 $10$ 项的和，一定能被 $11$ 整除。