斐波那契数列的个位数出现的周期是多少？

背景

《斐波那契数列：定义自然法则的数学》 一书提到，斐波那契数列的个位数字会按照固定的周期重复出现。我们可以自己动手来探索这个周期的长度是多少。

正文

斐波那契数列

$F_1=1,F_2=1$，对满足 $n\ge 3$ 的 $n$ 而言，$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$。满足这样的规则的数列，我们称其为斐波那契数列。

基本的分析

为了方便讨论，我们记 $a_n=(F_n\bmod 10,F_{n+1}\bmod 10)$。⬅️ 这里的小括号只是表示一对数字，没有特别的含义。 对比较小的 $n$，$F_n, F_n\bmod 10, a_n$ 的值列举如下

$n$	$F_n$	$F_n\bmod 10$	$a_n$
$1$	$1$	$1$	$(1,1)$
$2$	$1$	$1$	$(1,2)$
$3$	$2$	$2$	$(2,3)$
$4$	$3$	$3$	$(3,5)$
$5$	$5$	$5$	$(5,8)$
$6$	$8$	$8$	$(8,3)$
$7$	$13$	$3$	$(3,1)$
$8$	$21$	$1$	$(1,4)$
$9$	$34$	$4$	$(4,5)$
$10$	$55$	$5$	$(5,9)$
$11$	$89$	$9$	$(9,4)$
$12$	$144$	$4$	$(4,3)$
$13$	$233$	$3$	$(3,7)$
$14$	$377$	$7$	$(7,0)$
$15$	$610$	$0$	$(0,7)$
$16$	$987$	$7$	$(7,7)$
$17$	$1597$	$7$	$(7,4)$
$18$	$2584$	$4$	$(4,1)$
$19$	$4181$	$1$	$(1,5)$
$20$	$6765$	$5$	$(5,6)$

生成上方表格的 $Python3$ 代码如下 ⬇️

print(r'| $n$ | $F_n$ | $F_n\bmod 10$| $a_n$ |')
print('| --- | --- | --- | --- |')

curr, next = 1, 1
for i in range(1, 21):
    print(f'| ${i}$ | ${curr}$ | ${curr%10}$ | $({curr%10},{next%10})$ |')
    curr, next = next, (curr + next)

对任意自然数 $k$ 来说，$0\le (k\bmod 10) \le 9$ 总是成立，所以 $a_n$ 的可能取值只有 $10\times10=100$ 个（有的值可能取不到）。根据鸽笼原理，$a_1,a_2,\cdots,a_{101}$ 这 $101$ 个值必然有重复的（因为 $a_n$ 的可能取值只有 $100$ 个）。假设第一个重复出现的值为 $a_{dup}$ 且 $a_{dup}=a_{dup-t}$。那么从 $a_{dup}$ 开始，会有什么规律？

分析下标更大的项

注意到

所以

也就是说，从 $a_{n}$ 可以直接得出 $a_{n+1}$。 既然 $a_{dup}=a_{dup-t}$，那么必然有 ⬇️

• $a_{dup+1}=a_{dup-t+1}$
• $a_{dup+2}=a_{dup-t+2}$
• $a_{dup+3}=a_{dup-t+3}$
• $\cdots$

所以一旦发现了第一个重复值 $a_{dup}$，之后所有的值都会周期性出现（$t$ 是它的一个周期）。那么随之而来的问题就是 $dup$ 具体是多少。

分析下标更小的项

刚才提到从 $a_{n}$ 可以直接得出 $a_{n+1}$，那么如果知道 $a_{n+1}$，能否反推出 $a_n$ 呢？我们试一试 ⬇️

看来从 $a_{n+1}$ 也可以直接得出 $a_{n}$。

有趣的部分来了。考虑到 $a_{dup}=a_{dup+t}$，根据刚才提到的 “从 $a_{n+1}$ 也可以直接得出 $a_{n}$” 可知以下 $dup$ 个等式都成立 ⬇️

• $a_{dup}=a_{dup+t}$
• $a_{dup-1}=a_{dup+t-1}$
• $a_{dup-2}=a_{dup+t-2}$
• $\cdots$
• $a_{1}=a_{1+t}$

所以 $a_{1+t}$ 会是第一个重复的值，它的值和 $a_1$ 相等。如此说来，我们只要找到第一个和 $a_1$ 相等的 $a_n$（$n\ge2$），就可以得出周期 $t=n-1$ 了。

代码实战

我们可以将上述思路用 $Python3$ 来实现 ⬇️ （请将代码保存为 find_period.py）

appeared_fib_pairs = set()
fib_pair = (1, 1)
n = 1
while True:
    if fib_pair in appeared_fib_pairs:
        break
    appeared_fib_pairs.add(fib_pair)
    print(f'{n}: {fib_pair}')
    next_fib_pair = (fib_pair[1], (fib_pair[0] + fib_pair[1]) % 10)
    fib_pair = next_fib_pair
    n += 1

用以下命令可以运行 find_period.py

python3 find_period.py

完整的运行结果如下

1: (1, 1)
2: (1, 2)
3: (2, 3)
4: (3, 5)
5: (5, 8)
6: (8, 3)
7: (3, 1)
8: (1, 4)
9: (4, 5)
10: (5, 9)
11: (9, 4)
12: (4, 3)
13: (3, 7)
14: (7, 0)
15: (0, 7)
16: (7, 7)
17: (7, 4)
18: (4, 1)
19: (1, 5)
20: (5, 6)
21: (6, 1)
22: (1, 7)
23: (7, 8)
24: (8, 5)
25: (5, 3)
26: (3, 8)
27: (8, 1)
28: (1, 9)
29: (9, 0)
30: (0, 9)
31: (9, 9)
32: (9, 8)
33: (8, 7)
34: (7, 5)
35: (5, 2)
36: (2, 7)
37: (7, 9)
38: (9, 6)
39: (6, 5)
40: (5, 1)
41: (1, 6)
42: (6, 7)
43: (7, 3)
44: (3, 0)
45: (0, 3)
46: (3, 3)
47: (3, 6)
48: (6, 9)
49: (9, 5)
50: (5, 4)
51: (4, 9)
52: (9, 3)
53: (3, 2)
54: (2, 5)
55: (5, 7)
56: (7, 2)
57: (2, 9)
58: (9, 1)
59: (1, 0)
60: (0, 1)

可见 $a_n$ 的周期是 $60$，而 $a_n[0]$ 就是斐波那契数列的个位数字，也就是说斐波那契数列的个位数字以 $60$ 为周期，循环出现。