[Python] 借助图形化界面探索模m运算的规律

背景

进行模 $m$ 运算时，会有一些规律。如果我们能通过图形化界面来展示模 $m$ 运算的结果，应该更容易发现这些规律(本文只关心 $m$ 是质数的情况)。本文会提供借助图形化界面来观察 $a^n \pmod {p}$ 分布规律的 $\text{Python}$ 代码 (仅限于 $20$ 以内的质数 $p$)

正文

受到 A Friendly Introduction to Number Theory 中第 $9$ 章 (Congruences, Powers, and Fermat’s Little Theorem) 的启发，我觉得可以借助图形化界面来探索模 $m$ 运算的规律。本文只关心 $m$ 是质数的情况。

代码

我用 豆包 和 trae 写了如下的代码 (我在 [Python] 费马小定理 一文中也提供了这部分代码)

import pygame

# ===================== 1. 初始化配置 =====================
pygame.init()

# 可选的质数 p 列表
PRIMES = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19]
# 初始选中的 p（默认 None，未选择）
selected_p = None

# 基础窗口设置（自适应大小，最小600x600）
MIN_WIDTH, MIN_HEIGHT = 650, 650
screen = pygame.display.set_mode((MIN_WIDTH, MIN_HEIGHT), pygame.RESIZABLE)
pygame.display.set_caption("a^n mod p visualization tool")

# 颜色配置
WHITE = (255, 255, 255)
BLACK = (0, 0, 0)
GRAY = (200, 200, 200)
BLUE = (60, 130, 220)    # 按钮颜色
LIGHT_BLUE = (140, 190, 240)
RED = (220, 60, 60)     # 标题颜色
GREEN = (50, 180, 50)   # 结果文字颜色
DARK_BLUE = (30, 80, 180) # a/n标签颜色

def get_fonts(cell_size):
    """根据单元格大小动态调整字体"""
    base_size = max(10, int(cell_size * 0.55))
    font_grid = pygame.font.SysFont("Arial", base_size)
    font_an = pygame.font.SysFont("Arial", base_size)
    return font_grid, font_an

font_btn = pygame.font.SysFont("Arial", 24)
font_label = pygame.font.SysFont("Arial", 26)

def calc_pow(a, n, p):
    """calc a**n mod p"""
    if n == 0:
        return 1
    temp = calc_pow(a, n // 2, p)
    if n % 2 == 0:
        return (temp * temp) % p
    return (temp * temp * a) % p

# ===================== 2. 按钮绘制与点击判断 =====================
def draw_buttons():
    """绘制顶部的p选择按钮"""
    btn_width, btn_height = 60, 40
    start_x = 20
    start_y = 20
    spacing = 10

    for i, p in enumerate(PRIMES):
        btn_x = start_x + i * (btn_width + spacing)
        btn_rect = pygame.Rect(btn_x, start_y, btn_width, btn_height)
        
        # 选中的按钮变色
        color = LIGHT_BLUE if p == selected_p else BLUE
        pygame.draw.rect(screen, color, btn_rect, border_radius=5)
        
        # 按钮文字
        text = font_btn.render(f"p={p}", True, WHITE)
        text_rect = text.get_rect(center=btn_rect.center)
        screen.blit(text, text_rect)

def get_clicked_p(mouse_pos):
    """判断点击了哪个p按钮，返回对应的p值"""
    btn_width, btn_height = 60, 40
    start_x = 20
    start_y = 20
    spacing = 10

    for i, p in enumerate(PRIMES):
        btn_x = start_x + i * (btn_width + spacing)
        btn_rect = pygame.Rect(btn_x, start_y, btn_width, btn_height)
        if btn_rect.collidepoint(mouse_pos):
            return p
    return None

def resize_window(p):
    """根据选择的p自动调整窗口大小"""
    cell_size = min(70, (MIN_WIDTH - 120) // p)
    _, font_an = get_fonts(cell_size)
    max_num_str = str(p)
    max_label_width = font_an.size(max_num_str)[0]
    label_space = max_label_width + 10
    
    needed_width = cell_size * p + label_space + 60
    needed_height = 120 + cell_size * p + label_space + 60
    
    needed_width = max(needed_width, MIN_WIDTH)
    needed_height = max(needed_height, MIN_HEIGHT)
    
    return pygame.display.set_mode((needed_width, needed_height), pygame.RESIZABLE)

# ===================== 3. 网格绘制（显式标注a和n的值） =====================
def draw_grid(p):
    """绘制a-n网格，显式展示a、n和a^n mod p的值"""
    if p is None:
        tip = font_label.render("Please select p value", True, RED)
        screen.blit(tip, (screen.get_width()//2 - tip.get_width()//2, 100))
        return

    cell_size = min(70, (screen.get_width() - 120) // p)
    font_grid, font_an = get_fonts(cell_size)
    
    max_num_str = str(p)
    max_label_width = font_an.size(max_num_str)[0]
    label_space = max_label_width + 10

    total_grid_width = cell_size * p + label_space
    grid_start_x = (screen.get_width() - total_grid_width) // 2 + label_space
    grid_start_y = 120 + label_space
    grid_start_x = (screen.get_width() - total_grid_width) // 2 + label_space
    grid_start_y = 120 + label_space

    # -------- 1. 绘制坐标轴标题 --------
    n_title = font_label.render("n →", True, DARK_BLUE)
    n_title_x = grid_start_x + (cell_size * p) // 2
    n_title_y = 85
    screen.blit(n_title, (n_title_x - n_title.get_width()//2, n_title_y))

    a_title = font_label.render("a ↓", True, DARK_BLUE)
    a_title_x = (screen.get_width() - total_grid_width) // 2 - 25
    a_title_y = grid_start_y + (cell_size * p) // 2
    screen.blit(a_title, (a_title_x, a_title_y - a_title.get_height()//2))

    # -------- 2. 绘制顶部：显式展示所有 n 的值（横坐标） --------
    for i in range(p):
        n = i + 1
        x = grid_start_x + i * cell_size + cell_size//2
        y = grid_start_y - label_space//2
        n_text = font_an.render(str(n), True, DARK_BLUE)
        n_rect = n_text.get_rect(center=(x, y))
        screen.blit(n_text, n_rect)

    # -------- 3. 绘制左侧：显式展示所有 a 的值（纵坐标） --------
    for a in range(p):
        x = grid_start_x - label_space//2
        y = grid_start_y + a * cell_size + cell_size//2
        a_text = font_an.render(str(a), True, DARK_BLUE)
        a_rect = a_text.get_rect(center=(x, y))
        screen.blit(a_text, a_rect)

    # -------- 4. 绘制网格主体 + 计算结果 --------
    for i in range(p):
        n = i + 1
        for a in range(p):
            x = grid_start_x + i * cell_size
            y = grid_start_y + a * cell_size
            cell_rect = pygame.Rect(x, y, cell_size, cell_size)

            pygame.draw.rect(screen, BLACK, cell_rect, 1)

            val = calc_pow(a, n, p)
            val_text = font_grid.render(str(val), True, GREEN)
            val_rect = val_text.get_rect(center=cell_rect.center)
            screen.blit(val_text, val_rect)

# ===================== 4. 主循环 =====================
running = True
while running:
    screen.fill(WHITE)

    # 绘制按钮
    draw_buttons()
    # 绘制网格（含显式a/n标注）
    draw_grid(selected_p)

    # 事件处理
    for event in pygame.event.get():
        # 关闭窗口
        if event.type == pygame.QUIT:
            running = False
        
        # 鼠标点击事件
        if event.type == pygame.MOUSEBUTTONDOWN:
            mouse_pos = pygame.mouse.get_pos()
            # 获取点击的p值
            clicked_p = get_clicked_p(mouse_pos)
            if clicked_p is not None:
                selected_p = clicked_p
                screen = resize_window(selected_p)

    # 刷新界面
    pygame.display.flip()

pygame.quit()

请将以上代码保存为 show_mod_pow.py。使用如下命令可以运行 show_mod_pow.py

python3 show_mod_pow.py

开始时的效果如下 ⬇️

选择不同的 $p$ 值，就能看到 $a^n\bmod {p}$ 的计算结果。以 $p=5$ 为例，计算结果如下

探索

以 $p=2,3,5,7$ 的情况为例，我进行了一些探索，我把对应的规律展示在下方（为了便于查看，我把 $p=2,3,5,7$ 的四张图合并到一起了）

规律一: $a^2$ 分布对称

第一个规律是：$a^2$ 分布对称，即对满足 $0\lt a\lt p$ 的 $a$ 而言，$a^2\equiv (p-a)^2\pmod {p}$

这个规律不难证明 ⬇️

而

那么 $p\mid (a^2-(p-a)^2)$。所以 $a^2\equiv (p-a)^2 \pmod {p}$ 成立（其实 $a$ 可以是任意整数）

规律二: $a^{2k}$ 分布对称

第二个规律是：$a^{2k}$ 分布对称，即对满足 $0\lt a\lt p$ 的 $a$ 而言，$a^{2k}\equiv (p-a)^{2k}\pmod {p}$ ($k$ 是任意正整数)

我们可以在规律一的基础上证明规律二 ⬇️

由规律一可知，以下等式成立

对 $k$ 个这样的等式做乘法，就能得出

即

规律三: $a^{2k-1}$ + $(p-a)^{2k-1}\equiv 0 \pmod {p}$

第三个规律是：对满足 $0\lt a\lt p$ 的 $a$ 而言，$a^{2k-1} + (p-a)^{2k-1}\equiv 0\pmod {p}$ ($k$ 是任意正整数)。

这个规律可以用二项式定理来证明 ⬇️

令 $K=2k-1$

由于 $K=2k-1$ 是奇数，所以可以继续化简上式

上式中的每一项都能被 $p$ 整除，所以 $\sum_{i=1}^Kp^i(-a)^{K-i}$ 也能被 $p$ 整除。也就是说 ⬇️

于是 $a^{2k-1} + (p-a)^{2k-1}\equiv 0\pmod {p}$ 成立 ($k$ 是任意正整数)。规律三证毕。

规律四: 费马小定理

第四个规律是：对满足 $0\lt a\lt p$ 的 $a$ 而言，$a^{p-1}\equiv 1\pmod {p}$ 这个规律其实就是费马小定理。我在 [Python] 费马小定理 一文中对其进行了更多介绍。

规律五: $a^p\equiv a\pmod {p}$

第五个规律是：对满足 $0\le a\lt p$ 的 $a$ 而言，$a^p\equiv a\pmod {p}$

这个规律不难证明 ⬇️

• 如果 $a=0$，那么 $0^p\equiv 0\pmod {p}$ 显然成立
• 如果 $0\lt a\lt p$，那么由费马小定理可得 $a^{p-1}\equiv 1 \pmod {p}$。等式两边一起乘以 $a$，可以得出 $a^{p}\equiv a \pmod {p}$

证明结束

规律六: 最后一行是 $1$ 和 $p-1$ 交替出现

第六个规律是：最后一行是 $1$ 和 $p-1$ 交替出现。即，对任意自然数 $k$ 而言，以下两个等式成立

• $(p-1)^{2k+1}\equiv -1 \pmod {p}$
• $(p-1)^{2k}\equiv 1 \pmod {p}$

可以这样证明 ⬇️

当 $k=0$ 时，以下两个等式成立

• $(p-1)\equiv -1 \pmod {p}$
• $(p-1)^0\equiv 1 \pmod {p}$

将 $p-1$ 和 $-1$ 分别乘到第一个等式左右两边，可以得到 $(p-1)^2\equiv 1 \pmod {p}$

继续将 $p-1$ 和 $-1$ 分别乘到等式左右两边，可以得到 $(p-1)^3\equiv -1 \pmod {p}$

继续下去，就可以证明规律六。（本质上是用了数学归纳法来证明）

参考资料

• A Friendly Introduction to Number Theory 中的第 $9$ 章 (Congruences, Powers, and Fermat’s Little Theorem)
• 我写的另一篇文章：[Python] 费马小定理