[Python] 费马小定理

前言

您是否注意过以下规律？

• 自然数 $n$ 的平方 $n^2$ 似乎总是满足以下两个等式中的某一个

  • $n^2\equiv 0 \pmod{3}$
  • $n^2\equiv 1 \pmod{3}$

• 自然数 $n$ 的 $4$ 次方 $n^4$ 似乎总是满足以下两个等式中的某一个

  • $n^4\equiv 0 \pmod{5}$
  • $n^4\equiv 1 \pmod{5}$

• 自然数 $n$ 的 $5$ 次方似乎总是满足以下等式

  • $n^5\equiv n \pmod{10}$

如果这些规律成立，我们能否证明它们？如果这些规律不（都）成立，我们可以找到反例吗？

本文会提供可以对此进行探索的 $\text{Python}$ 代码（包括图形化版本和非图形化版本）。其中图形化版本的示例效果如下 👇

本文会在此基础上，对费马小定理进行介绍。

正文

用较小的质数进行试验

不借助图形化界面

我们可以用较小的质数 $p$ 进行一些试验。我想通过 $\text{Python}$ 代码来自动生成下图展示的这种表格 ⬇️

于是我写了这样的代码 (豆包 和 trae 提供了帮助)

"""
A tool for generating modular powers for a given prime number p.
"""
from typing import List


class SimpleModularPowDisplayer:
    """A class to display modular powers for a given positive integer m.

    Attributes:
        m (int): a positive integer (greater than or equal to 2)
    """

    def __init__(self, m: int) -> None:
        """Initialize the displayer with a positive integer m.
        
        Args:
            m (int): a positive integer
        
        Raises:
            ValueError: when m is not an integer or m < 2
        """
        if not isinstance(m, int) or m < 2:
            raise ValueError("m must be an integer that is greater than or equal to 2")
        self.m = m

    def _get_header_elements(self) -> List[str]:
        """Generate the header elements for the Markdown table.

        Returns:
            List[str]: Header cells for the Markdown table (LaTeX-formatted)
        """
        header = [f"$a$"]
        for exp in range(2, self.m + 1):
            header.append(f"$a^{{{exp}}} \\bmod {self.m}$")
        return header

    def print_header(self) -> None:
        """Print the header row of the Markdown table."""
        elements = self._get_header_elements()
        print(f"| {' | '.join(elements)} |")

    def _get_row_elements(self, a: int) -> List[str]:
        """Generate the elements for a single row of the Markdown table.
        
        Args:
            a (int): the base number (0 <= a < m)
        
        Returns:
            List[str]: Cell values for the row (LaTeX-formatted)
        """
        elements = [f"${a}$"]
        current = a
        for _ in range(2, self.m + 1):
            current = (current * a) % self.m
            elements.append(f"${current}$")
        return elements

    def print_row(self, a: int) -> None:
        """Print a single row of the Markdown table for a given base a.
        
        Args:
            a (int): an integer that satisfies the condition 0 <= a < m
        
        Raises:
            ValueError: If a is outside the range [0, m-1]
        """
        if not 0 <= a < self.m:
            raise ValueError(f"a should be inside [0, {self.m-1}]")
        elements = self._get_row_elements(a)
        print(f"| {' | '.join(elements)} |")

    def show_markdown_result(self) -> None:
        """Print the complete Markdown table for modular powers of m."""
        print(f"#### $m={self.m}$")
        self.print_header()
        # Print the separator row
        separator = ["---"] * len(self._get_header_elements())
        print(f"| {' | '.join(separator)} |")
        # Traverse all numbers from 0 to m-1
        for a in range(self.m):
            self.print_row(a)


if __name__ == "__main__":
    # A list with prime numbers
    PRIME_LIST = [2, 3, 5, 7, 11]
    for prime in PRIME_LIST:
        try:
            displayer = SimpleModularPowDisplayer(prime)
            displayer.show_markdown_result()
            print("\n")
        except ValueError as e:
            print(f"Error occurred when processing p={prime}: {e}")

请将上述代码保存为 print_markdown_table.py。用如下命令可以运行 print_markdown_table.py

python3 print_markdown_table.py

运行结果包含了 $5$ 个 markdown 表格 ⬇️

$m=2$

$a$	$a^{2} \bmod 2$
$0$	$0$
$1$	$1$

$m=3$

$a$	$a^{2} \bmod 3$	$a^{3} \bmod 3$
$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$

$m=5$

$a$	$a^{2} \bmod 5$	$a^{3} \bmod 5$	$a^{4} \bmod 5$	$a^{5} \bmod 5$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$3$	$1$	$2$
$3$	$4$	$2$	$1$	$3$
$4$	$1$	$4$	$1$	$4$

$m=7$

$a$	$a^{2} \bmod 7$	$a^{3} \bmod 7$	$a^{4} \bmod 7$	$a^{5} \bmod 7$	$a^{6} \bmod 7$	$a^{7} \bmod 7$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$1$	$2$	$4$	$1$	$2$
$3$	$2$	$6$	$4$	$5$	$1$	$3$
$4$	$2$	$1$	$4$	$2$	$1$	$4$
$5$	$4$	$6$	$2$	$3$	$1$	$5$
$6$	$1$	$6$	$1$	$6$	$1$	$6$

$m=11$

$a$	$a^{2} \bmod 11$	$a^{3} \bmod 11$	$a^{4} \bmod 11$	$a^{5} \bmod 11$	$a^{6} \bmod 11$	$a^{7} \bmod 11$	$a^{8} \bmod 11$	$a^{9} \bmod 11$	$a^{10} \bmod 11$	$a^{11} \bmod 11$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$8$	$5$	$10$	$9$	$7$	$3$	$6$	$1$	$2$
$3$	$9$	$5$	$4$	$1$	$3$	$9$	$5$	$4$	$1$	$3$
$4$	$5$	$9$	$3$	$1$	$4$	$5$	$9$	$3$	$1$	$4$
$5$	$3$	$4$	$9$	$1$	$5$	$3$	$4$	$9$	$1$	$5$
$6$	$3$	$7$	$9$	$10$	$5$	$8$	$4$	$2$	$1$	$6$
$7$	$5$	$2$	$3$	$10$	$4$	$6$	$9$	$8$	$1$	$7$
$8$	$9$	$6$	$4$	$10$	$3$	$2$	$5$	$7$	$1$	$8$
$9$	$4$	$3$	$5$	$1$	$9$	$4$	$3$	$5$	$1$	$9$
$10$	$1$	$10$	$1$	$10$	$1$	$10$	$1$	$10$	$1$	$10$

借助图形化界面

直接看表格，感觉互动性有点差，我用 豆包 和 trae 写了如下的代码

import pygame

# ===================== 1. 初始化配置 =====================
pygame.init()

# 可选的质数 p 列表
PRIMES = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19]
# 初始选中的 p（默认 None，未选择）
selected_p = None

# 基础窗口设置（自适应大小，最小600x600）
MIN_WIDTH, MIN_HEIGHT = 650, 650
screen = pygame.display.set_mode((MIN_WIDTH, MIN_HEIGHT), pygame.RESIZABLE)
pygame.display.set_caption("a^n mod p visualization tool")

# 颜色配置
WHITE = (255, 255, 255)
BLACK = (0, 0, 0)
GRAY = (200, 200, 200)
BLUE = (60, 130, 220)    # 按钮颜色
LIGHT_BLUE = (140, 190, 240)
RED = (220, 60, 60)     # 标题颜色
GREEN = (50, 180, 50)   # 结果文字颜色
DARK_BLUE = (30, 80, 180) # a/n标签颜色

def get_fonts(cell_size):
    """根据单元格大小动态调整字体"""
    base_size = max(10, int(cell_size * 0.55))
    font_grid = pygame.font.SysFont("Arial", base_size)
    font_an = pygame.font.SysFont("Arial", base_size)
    return font_grid, font_an

font_btn = pygame.font.SysFont("Arial", 24)
font_label = pygame.font.SysFont("Arial", 26)

def calc_pow(a, n, p):
    """calc a**n mod p"""
    if n == 0:
        return 1
    temp = calc_pow(a, n // 2, p)
    if n % 2 == 0:
        return (temp * temp) % p
    return (temp * temp * a) % p

# ===================== 2. 按钮绘制与点击判断 =====================
def draw_buttons():
    """绘制顶部的p选择按钮"""
    btn_width, btn_height = 60, 40
    start_x = 20
    start_y = 20
    spacing = 10

    for i, p in enumerate(PRIMES):
        btn_x = start_x + i * (btn_width + spacing)
        btn_rect = pygame.Rect(btn_x, start_y, btn_width, btn_height)
        
        # 选中的按钮变色
        color = LIGHT_BLUE if p == selected_p else BLUE
        pygame.draw.rect(screen, color, btn_rect, border_radius=5)
        
        # 按钮文字
        text = font_btn.render(f"p={p}", True, WHITE)
        text_rect = text.get_rect(center=btn_rect.center)
        screen.blit(text, text_rect)

def get_clicked_p(mouse_pos):
    """判断点击了哪个p按钮，返回对应的p值"""
    btn_width, btn_height = 60, 40
    start_x = 20
    start_y = 20
    spacing = 10

    for i, p in enumerate(PRIMES):
        btn_x = start_x + i * (btn_width + spacing)
        btn_rect = pygame.Rect(btn_x, start_y, btn_width, btn_height)
        if btn_rect.collidepoint(mouse_pos):
            return p
    return None

def resize_window(p):
    """根据选择的p自动调整窗口大小"""
    cell_size = min(70, (MIN_WIDTH - 120) // p)
    _, font_an = get_fonts(cell_size)
    max_num_str = str(p)
    max_label_width = font_an.size(max_num_str)[0]
    label_space = max_label_width + 10
    
    needed_width = cell_size * p + label_space + 60
    needed_height = 120 + cell_size * p + label_space + 60
    
    needed_width = max(needed_width, MIN_WIDTH)
    needed_height = max(needed_height, MIN_HEIGHT)
    
    return pygame.display.set_mode((needed_width, needed_height), pygame.RESIZABLE)

# ===================== 3. 网格绘制（显式标注a和n的值） =====================
def draw_grid(p):
    """绘制a-n网格，显式展示a、n和a^n mod p的值"""
    if p is None:
        tip = font_label.render("Please select p value", True, RED)
        screen.blit(tip, (screen.get_width()//2 - tip.get_width()//2, 100))
        return

    cell_size = min(70, (screen.get_width() - 120) // p)
    font_grid, font_an = get_fonts(cell_size)
    
    max_num_str = str(p)
    max_label_width = font_an.size(max_num_str)[0]
    label_space = max_label_width + 10

    total_grid_width = cell_size * p + label_space
    grid_start_x = (screen.get_width() - total_grid_width) // 2 + label_space
    grid_start_y = 120 + label_space
    grid_start_x = (screen.get_width() - total_grid_width) // 2 + label_space
    grid_start_y = 120 + label_space

    # -------- 1. 绘制坐标轴标题 --------
    n_title = font_label.render("n →", True, DARK_BLUE)
    n_title_x = grid_start_x + (cell_size * p) // 2
    n_title_y = 85
    screen.blit(n_title, (n_title_x - n_title.get_width()//2, n_title_y))

    a_title = font_label.render("a ↓", True, DARK_BLUE)
    a_title_x = (screen.get_width() - total_grid_width) // 2 - 25
    a_title_y = grid_start_y + (cell_size * p) // 2
    screen.blit(a_title, (a_title_x, a_title_y - a_title.get_height()//2))

    # -------- 2. 绘制顶部：显式展示所有 n 的值（横坐标） --------
    for i in range(p):
        n = i + 1
        x = grid_start_x + i * cell_size + cell_size//2
        y = grid_start_y - label_space//2
        n_text = font_an.render(str(n), True, DARK_BLUE)
        n_rect = n_text.get_rect(center=(x, y))
        screen.blit(n_text, n_rect)

    # -------- 3. 绘制左侧：显式展示所有 a 的值（纵坐标） --------
    for a in range(p):
        x = grid_start_x - label_space//2
        y = grid_start_y + a * cell_size + cell_size//2
        a_text = font_an.render(str(a), True, DARK_BLUE)
        a_rect = a_text.get_rect(center=(x, y))
        screen.blit(a_text, a_rect)

    # -------- 4. 绘制网格主体 + 计算结果 --------
    for i in range(p):
        n = i + 1
        for a in range(p):
            x = grid_start_x + i * cell_size
            y = grid_start_y + a * cell_size
            cell_rect = pygame.Rect(x, y, cell_size, cell_size)

            pygame.draw.rect(screen, BLACK, cell_rect, 1)

            val = calc_pow(a, n, p)
            val_text = font_grid.render(str(val), True, GREEN)
            val_rect = val_text.get_rect(center=cell_rect.center)
            screen.blit(val_text, val_rect)

# ===================== 4. 主循环 =====================
running = True
while running:
    screen.fill(WHITE)

    # 绘制按钮
    draw_buttons()
    # 绘制网格（含显式a/n标注）
    draw_grid(selected_p)

    # 事件处理
    for event in pygame.event.get():
        # 关闭窗口
        if event.type == pygame.QUIT:
            running = False
        
        # 鼠标点击事件
        if event.type == pygame.MOUSEBUTTONDOWN:
            mouse_pos = pygame.mouse.get_pos()
            # 获取点击的p值
            clicked_p = get_clicked_p(mouse_pos)
            if clicked_p is not None:
                selected_p = clicked_p
                screen = resize_window(selected_p)

    # 刷新界面
    pygame.display.flip()

pygame.quit()

请将以上代码保存为 show_mod_pow.py。使用如下命令可以运行 show_mod_pow.py

python3 show_mod_pow.py

开始时的效果如下 ⬇️

我们可以选择不同的 $p$ 值，来查看对应的计算结果。以 $p=7$ 为例，效果如下 ⬇️

借助图形化界面来探索规律，感觉方便些。

找规律

通过观察以上 $5$ 个 markdown 表格以及使用图形化界面，我们可以发现一些规律 ⬇️ (也许您还能发现其他规律)

• 对满足 $0\lt a\lt p$ 的整数 $a$ 而言，$a^{2k}\equiv (p-a)^{2k} \pmod {p}$ 似乎总是成立 ($k$ 为任意正整数)
• 对满足 $0\lt a\lt p$ 的整数 $a$ 而言，$a^{p-1}\equiv 1 \pmod {p}$ 似乎总是成立

我们试试证明它们。

规律一的证明

我们尝试证明以下规律

对满足 $0\lt a\lt p$ 的整数 $a$ 而言，$a^{2k}\equiv (p-a)^{2k} \pmod {p}$ 总是成立 ($k$ 为任意正整数，$p$ 为任意质数)

$k=1$ 的情况最简单，我们先看看这种情况 ⬇️

因此

所以

如果我们能将以下 $k$ 个等式左边右边各自相乘，就可以得到要证的等式 👉 $a^{2k}\equiv (p-a)^{2k} \pmod {p}$

• $a^2\equiv (p-a)^2 \pmod {p}$
• $a^2\equiv (p-a)^2 \pmod {p}$
• $\cdots$
• $a^2\equiv (p-a)^2 \pmod {p}$

但是能否这样做乘法呢？答案是肯定的。

如果 $x\equiv x' \pmod n$ 和 $y\equiv y' \pmod n$ 成立，那么以下两个命题成立

• $n \mid (x-x')$
• $n \mid (y-y')$

也就是说，存在整数 $a,b$ 使得以下两个等式成立

• $x'=x+an$
• $y'=y+bn$

所以

那么

由此可见，在模 $n$ 运算中，我们确实可以在 $\equiv$ 运算两边做乘法。

于是 $a^{2k}\equiv (p-a)^{2k} \pmod {p}$ 对任意正整数 $k$ 都成立。

规律二的证明

说明：本小节的证明来自 灵茶山艾府 所写的 分享丨模运算的世界：当加减乘除遇上取模（模运算恒等式/费马小定理/组合数） 一文（有改动）。由于其中所讲的都是经典的数学知识，我想其中的证明应该不存在版权问题，但引用其中的内容时，应该注明出处。于是我写了这么一段说明

我们的目标是，证明或者证伪以下命题

对 $0\lt a\lt p$ 的整数 $a$ 而言，$a^{p-1}\equiv 1 \pmod {p}$。

首先，对任意整数 $x,y$，$(x+y)^p$ 可以用二项式定理进行展开。

而 $C_p^i=\frac{p!}{i!(p-i)!}$

• 当 $i=0$ 时，$C_p^0=1$
• 当 $0\lt i\lt p$ 时，$p\mid p!$ 成立，由算术基本定理可得，$p\mid C_p^i$
• 当 $i=p$ 时，$C_p^p=1$

所以

其中 $\cdots$ 所表示的各项均可被 $p$ 整除。

于是我们可以得出

令 $y=1$ 就会得到 ⬇️

当 $x=0$ 时，$0^p\equiv 0 \pmod p$ 显然成立。

假设 $x=k$ 时，$k^p\equiv k \pmod p$ 成立（$k$ 是某个自然数）。也就是说，$p\mid (k^p-k)$ 成立。

那么 $x=k+1$ 时，

其中 $N$ 表示某个整数。继续化简，可以得到 ⬇️

注意到以下两个命题成立

• $p\mid (k^p-k)$
• $p\mid pN$

那么 $p\mid (k^p-k+pN)$ 成立，也就是说，$(k+1)^p\equiv k^p + 1\pmod p$ 成立。

运用数学归纳法，可以得到 $x^p\equiv x \pmod p$ 对任意自然数 $x$ 都成立。

• 当 $p\mid x$ 时，$x^p\equiv 0 \pmod p$ 显然成立
• 当 $p\nmid x$ 时，由于 $p\mid (x^p-x)$，那么 $p\mid x(x^{p-1}-1)$。利用 算术基本定理 一文中提到的 引理一，可以得出 $p\mid (x^{p-1} - 1)$，即 $x^{p-1}\equiv 1 \pmod p$。⬅️ 这就是费马小定理

费马小定理的简单应用

我们回到 背景 中所提到的 $3$ 个问题

问题 1

自然数 $n$ 的平方 $n^2$ 是否总是满足以下两个等式中的某一个

• $n^2\equiv 0 \pmod{3}$
• $n^2\equiv 1 \pmod{3}$

当 $3\mid n$ 时，$n^2\equiv 0 \pmod{3}$ 显然成立。当 $3\nmid n$ 时，由费马小定理可得，$n^2\equiv 1 \pmod{3}$。问题 $1$ 解决了。

问题 2

自然数 $n$ 的 $4$ 次方 $n^4$ 是否总是满足以下两个等式中的某一个

• $n^4\equiv 0 \pmod{5}$
• $n^4\equiv 1 \pmod{5}$

当 $5\mid n$ 时，$n^4\equiv 0 \pmod{5}$ 显然成立。当 $4\nmid n$ 时，由费马小定理可得，$n^4\equiv 1 \pmod{5}$。问题 $2$ 解决了。

问题 3

自然数 $n$ 的 $5$ 次方是否总是满足 $n^5\equiv n \pmod{10}$

当 $5\mid n$ 时，$n^5-n=n(n^4-1)$，所以 $5\mid (n^5-n)$，那么 $n^5\equiv n \pmod{5}$ 成立。

当 $5\nmid n$ 时，由费马小定理可得 $n^4\equiv 1 \pmod{5}$，所以 $n^5\equiv n \pmod{5}$ 也成立。

也就是说对任意自然数 $n$，$n^5\equiv n \pmod{5}$ 都成立。

考虑到 $n^5$ 和 $n$ 的奇偶性相同，那么 $2\mid (n^5-n)$。

由算术基本定理可知，当 $n\gt1$ 时，$n^5-n$ 的质因数分解结果是唯一的，那么这个分解结果中至少包含一个 $2$，至少包含一个 $5$。所以 $10\mid (n^5-n)$。而 $n=0,1$ 时，$10\mid (n^5-n)$ 显然成立。所以对任意自然数 $n$ 而言，$10\mid(n^5-n)$。换句话说 $n^5\equiv n \pmod{10}$ 对任意整数 $n$ 成立。

问题 $3$ 解决了。

参考资料

• 灵茶山艾府 所写的 分享丨模运算的世界：当加减乘除遇上取模（模运算恒等式/费马小定理/组合数）
• 我自己写的 算术基本定理