（二）神经网络训练基础：激活函数、反向传播与自动求导

本节聚焦「如何训练」：先对齐常用术语，再依次说明激活函数、训练循环、反向传播与自动求导。

机器学习中的关键术语及其含义

神经元及神经网络

一种模仿生物神经网络的结构和功能的数学模型或计算模型，按照一定的规则将多个神经元连接起来的网络。

神经网络是一种运算模型，由大量的节点（或神经元）之间相互联接构成。每个节点代表一种特定的输出函数，称为激活函数。

多层感知机

多个神经元可以组合一起，形成多层感知机。

多层感知器（Multi-Layer Perceptron，MLP）：

通过叠加多层全连接层来提升网络的表达能力。相比单层网络，多层感知器有很多中间层的输出并不暴露给最终输出，这些层被称为隐含器（Hidden Layers）。

关键术语

• 样本[*]：

样本是数据集中的单个实例或数据点，通常由一组特征（自变量）和一个标签（因变量）组成。

举例：房价预测中，一个样本可能包含房屋的面积、位置、房龄等特征，以及对应的房价标签。

• 标签[*]：

标签是与样本关联的目标值或类别，用于监督学习中指导模型学习。

举例：情感分析中，每条评论文本对应一个情感类别标签（如「正面」「负面」或「中性」），模型学习根据文本预测该标签。

• 目标函数

是模型训练过程中优化的目标，通常由损失函数构成，用于衡量模型的性能。

举例：在线性回归中，目标函数是最小化均方误差（MSE）。

• 损失函数 用于量化模型预测值与真实值之间的差异，用来衡量单个样本中计算值与标签值的差异。

举例：在分类问题中，常用的损失函数是交叉熵损失。

• 特征[*]

通过机器学习算法从数据中学习到的数学表示，用于模型的输入。

通俗来讲：数据经过神经网络运算之后所输出的结果，就是特征。

• 模型

通过机器学习算法从数据中学习到的数学表示，用于对新数据进行预测。

• 训练数据[*]

用于训练机器学习模型的数据集，通常包含输入特征和对应的标签。[训练集：验证集：测试集][7：1：2]

• 测试数据

用于评估模型在未知数据上表现的数据集。

• 正则化

用于防止模型过度拟合的技术和手段

• 学习率[*]

学习率是一个超参数，学习率是训练过程中控制参数更新的重要因素。

过大的学习率可能导致模型无法收敛,而过小的学习率则会导致训练过程缓慢。（学习率决定学习速度）

• Epoch

即轮次，模型训练过程中对整个训练数据进行一次完整的遍历。

• 超参数 超参数是在训练之前设置的参数，用于控制学习过程和模型结构。

举例：学习率、批量大小、神经网络的层数和每层的神经元数量等都是常见的超参数。

• 数据分布

训练的过程就是找到一个函数，能够匹配数据的分布的过程。

非线性激活函数

• 激活函数 人工神经网络中的一个关键组件，负责将神经元的输入信号转换为输出信号，从而引入非线性特性。

说白了，就是给神经网络提供非线性能力的函数，把直线变成一条曲线。

激活函数对模型至关重要：引入非线性、增强表达能力、控制输出范围、促进梯度传播、模拟生物神经元的激活机制。

• 常见的激活函数
  • Sigmoid函数：将输入映射到 (0,1) 之间，常用于二分类问题，容易导致梯度消失问题。

• Tanh函数：将输入映射到 (-1,1) 之间，解决了 Sigmoid 的零均值问题，但仍存在梯度消失问题。

• ReLU函数：将输入为正时输出输入值，输入为负时输出 0，计算简单且能够有效缓解梯度消失问题，但可能导致“神经元死亡”问题。

• Softmax函数：将输入映射为概率分布，常用于多分类问题的输出层。

模型训练过程

• Step 1：定义网络结构 确定网络的层数、每层神经元数量、激活函数等。

• Step 2：初始化模型参数 随机初始化权重 ( W ) 和偏置 ( b )。

• Step 3：循环训练（直到损失值达标）

子步骤	名称	说明
3.1	执行前向传播	输入数据经过网络逐层计算，得到预测输出
3.2	计算损失函数	将预测输出与真实标签对比，计算损失值
3.3	执行反向传播	根据损失值计算各层参数的梯度
3.4	更新权值	使用梯度下降法更新权重和偏置

• Step 4：模型测试与应用 损失值达标后，进行模型测试，最后投入应用。

反向传播机制

用一个实际例子来理解机器学习和反向传播：

猜数字的游戏。现在我心中确定了一个1到100的数，请你猜猜它是什么？

学习率的影响

• 梯度下降法 步长太小，迭代次数多，收敛慢。 步长太大，引起震荡，可能无法收敛。

前向计算、反向传播

前向计算（模型推理）

将数据输入到模型，得到输出的过程。

x * w + b = h

反向传播（模型训练）

根据模型输出的结果，结合数据对应的标签，得到损失，再通过损失求解正确的参数（w, b）。

loss = mean((h - y) ^ 2)

下面是一个最小可运行的“手写前向 + 反向 + 参数更新”示例（两层网络，ReLU激活）：

import numpy as np

batch_size, dim_in, hidden_layer, dim_out = 64, 1000, 100, 10
x = np.random.randn(batch_size, dim_in)
y = np.random.randn(batch_size, dim_out)
w1 = np.random.randn(dim_in, hidden_layer)
w2 = np.random.randn(hidden_layer, dim_out)

learning_rate = 1e-6
for t in range(500):
    # 前向计算
    h = x.dot(w1)
    h_relu = np.maximum(h, 0)
    y_pred = h_relu.dot(w2)

    # 计算损失
    loss = np.square(y_pred - y).sum()
    print(t, loss)

    # 反向传播（手推梯度）
    grad_y_pred = 2.0 * (y_pred - y)
    grad_w2 = h_relu.T.dot(grad_y_pred)
    grad_h_relu = grad_y_pred.dot(w2.T)
    grad_h = grad_h_relu.copy()
    grad_h[h < 0] = 0
    grad_w1 = x.T.dot(grad_h)

    # 参数更新
    w1 -= learning_rate * grad_w1
    w2 -= learning_rate * grad_w2

如果使用 PyTorch，可以把梯度计算交给 autograd 自动完成：

import torch

batch_size, dim_in, hidden_layer, dim_out = 64, 1000, 100, 10
x = torch.randn(batch_size, dim_in)
y = torch.randn(batch_size, dim_out)
w1 = torch.randn(dim_in, hidden_layer, requires_grad=True)
w2 = torch.randn(hidden_layer, dim_out, requires_grad=True)

learning_rate = 1e-6
for t in range(500):
    y_pred = x.mm(w1).clamp(min=0).mm(w2)  # 前向
    loss = (y_pred - y).pow(2).sum()
    print(t, loss.item())

    loss.backward()  # 反向：自动求导

    with torch.no_grad():
        w1 -= learning_rate * w1.grad
        w2 -= learning_rate * w2.grad
        w1.grad.zero_()
        w2.grad.zero_()

最终目标

模型输出的 h 和 y 非常接近，loss 很小，我们需要求解 loss 最小时对应的参数 w, b。

loss 不能为 0，只能无限逼近于 0。

梯度下降算法（SGD）

Adam 优化器可以自行动态调整学习率。

在工程实践中，常见写法是使用优化器统一管理参数更新：

import torch

model = torch.nn.Sequential(
    torch.nn.Linear(1000, 100),
    torch.nn.ReLU(),
    torch.nn.Linear(100, 10),
)
loss_fn = torch.nn.MSELoss()
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=1e-3)

x = torch.randn(64, 1000)
y = torch.randn(64, 10)

for t in range(500):
    y_pred = model(x)
    loss = loss_fn(y_pred, y)
    print(t, loss.item())

    optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()

多层模型的前向计算其实就是复合函数嵌套：

h * w1 + b1 = (x * w + b) * w1 + b1 = h1

反向求导的时候就是复合函数的求导，遵循链式法则。

自动求导

自动求导不仅能处理固定结构的网络，也能处理“每次前向结构都可能变化”的动态计算图。

常见的计算机程序求导方法可以归纳为四种：数值微分、符号求导、前向模式自动求导（Forward Mode AD）、反向模式自动求导（Reverse Mode AD）。

深度学习训练中最常用的是反向模式自动求导，也就是我们常说的反向传播。

自动求导的进阶：动态图与参数共享

下面通过一个例子说明：输入层和输出层固定，但中间层会随机重复 0~3 次；同一个中间层参数会被重复使用（参数共享）。

import random
import torch


class DynamicNet(torch.nn.Module):
    def __init__(self, n_in, n_hidden, n_out):
        super().__init__()
        self.input_linear = torch.nn.Linear(n_in, n_hidden)
        self.middle_linear = torch.nn.Linear(n_hidden, n_hidden)  # 参数共享层
        self.output_linear = torch.nn.Linear(n_hidden, n_out)

    def forward(self, x):
        # 固定的输入变换
        h_relu = self.input_linear(x).clamp(min=0)
        y_pred = self.output_linear(h_relu)

        # 每次前向随机决定中间层重复次数（动态图）
        for _ in range(random.randint(0, 3)):
            h_relu = self.middle_linear(h_relu).clamp(min=0)
            y_pred = self.output_linear(h_relu)
        return y_pred


batch_size, dim_in, hidden_layer, dim_out = 64, 1000, 83, 10
x = torch.randn(batch_size, dim_in)
y = torch.randn(batch_size, dim_out)

model = DynamicNet(dim_in, hidden_layer, dim_out)
criterion = torch.nn.MSELoss(reduction="sum")
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=1e-4, momentum=0.9)

for t in range(500):
    y_pred = model(x)
    loss = criterion(y_pred, y)
    print(t, loss.item())

    optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()

这个例子说明：在 PyTorch 中，计算图是在前向过程中动态构建的，因此可以直接使用 Python 的循环和条件语句来控制网络结构。

讨论

为什么模型的效果一直停滞不前？

• 优化器选择不合适：参数更新方向或步长控制不佳，导致收敛慢或训练不稳定。
• 损失函数选择不合适：与任务目标不匹配，模型即使在优化，也难以朝正确方向改进。

神经元越多，网络深度越大，效果越好吗？

不一定。更大的模型通常拥有更强表达能力，但效果取决于数据规模与质量、正则化策略、优化方法和计算资源。
当数据不足或训练策略不当时，盲目增大网络反而更容易过拟合、训练不稳定，甚至导致效果下降。

文中部分图片来自于网络。