【图像处理】阈值与二值化

引言

在进行图像的预处理的过程中，为了尽可能多的减少无用像素，保留关键像素。常会使用二值化的方式“剥离”无用像素，使得图像仅保留“物象”与“背景”。图像的二值化，即设定一个灰度阈值，将低于和高于该阈值的像素分别设置为像素值的两个极端值。不难推断，阈值的选取，对于二值化的效果至关重要。那么我们该如何合适的阈值呢？

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一、何为“合适”的阈值？

通常，二值化的目的，是为让“物象”和“背景”尽可能地区分开，并尽可能的消除其他的无用像素。一个很常见的例子是，纸质资料的二值化。

来源: Basel, Universitätsbibliothek, A II 1, f. 1v – Nicolaus de Lyra, Postilla super Genesim et Exodum https://www.e- codices.ch/de/list/one/ubb/A- II- 0001 (CC0)

在这个例子中，一个合适的阈值，可以很清晰的分割出背景与文字。换句话说，一个合适的阈值，能很好的分割出图像中的“有用”像素。从信息的角度上来说，一个合适的阈值，能够使得我们获得最多的“有用”信息。

二、“合适”阈值的量化分析

2.1 双峰直方图

常见的二值化任务，是将物象与背景进行分离，例如下图中的钱包二值化。

在这个分离任务中， 钱包被分为了一类，而背景则被分为了另一类。为了更清晰的了解这个图片中的明暗像素的数量特点，我们生成一下该图片像素在各个像素强度上的数量分布直方图。

横轴为像素强度（0~255），纵轴为该强度下的像素出现次数。不难看出，该图片有两个像素集中出现的强度区域，对应的就是组成背景的像素与组成钱包的像素。类似于这样，有两个明显峰值的直方图，我们称之为双峰直方图。

在双峰直方图的二值化过程中，为了保障尽可能地保证物象与背景的信息表达，我们需要找到一个合适的像素强度，作为阈值的取值。那该如何计算这个取值呢？

2.2 采用高斯概率密度函数的直方图建模

为什么要采用高斯概率密度函数对直方图进行建模？

• 图像前景、背景灰度受光照、传感器噪声影响，天然服从高斯分布；
• 用高斯 PDF 建模直方图双峰，能拟合出最优分割阈值；
• 相比固定阈值，可自适应光线变化，二值化更稳定、分割误差更小；
• 是 Otsu、自适应阈值等图像分割算法的数学基础。

对背景峰 + 前景（人）峰，各用一个高斯正态分布拟合：

$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

第一步：统计灰度直方图 遍历整幅灰度图，统计 0~255 每个灰度的像素数量，得到直方图数组 hist[256]。

第二步：找直方图两个峰值 1. 遍历 hist，找到最高峰（背景均值 $\mu_1$） 2. 在另一区域找次高峰（前景均值 $\mu_2$）

第三步：分别计算两个高斯的参数 对每个峰周围像素，计算：

1. 均值 $\mu$ ：灰度重心
2. 方差 $\sigma^2$ ：灰度离散程度
3. 权重 $w$ ：该峰像素占总像素比例 得到两组参数：$(\mu_1,\sigma_1,w_1)$、$(\mu_2,\sigma_2,w_2)$

第四步：建立双峰高斯混合模型 整体直方图 = 两个高斯加权叠加：

$p(x)=w_1\cdot G(x,\mu_1,\sigma_1)+w_2\cdot G(x,\mu_2,\sigma_2)$

通过这一系列步骤，我们能够得到如下图的模型：

2.3 计算最优阈值

在图像灰度直方图满足物象、背景服从双峰高斯分布的建模前提下，将物象与背景分别抽象为两个独立的高斯概率密度函数。灰度值对应某一高斯分布的概率密度，表征该灰度隶属于对应类别的置信程度。

令两个高斯分布概率密度相等，求解方程得到灰度交点 T，该交点即为最优二值化分割阈值。

从分类原理来看，交点处像素隶属于物象与背景的后验概率相等；以该灰度值作为分割界限，小于阈值判定为前景目标，大于阈值判定为背景区域。此分割方式可使物象误判为背景、背景误判为前景的两类错分像素总数最少，实现最小误差分割。

即对下式进行求解：

$p_0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_0} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_0}{\sigma_0}\right)^2} = (1-p_0) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2}$

即可计算出最优二值化分割阈值。

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未完待续