第一章行列式5.行列式按行或按列展开1.前言：先搞定两个基石概念：余子式、代数余子式设 $n$ 阶行列式 $$ D=

1.前言：先搞定两个基石概念：余子式、代数余子式

设 $n$ 阶行列式

D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}

1.1 余子式 $M_{ij}$

操作：划掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列所有元素；
结果：剩下的元素按原来的相对顺序，组成一个 $n-1$ 阶行列式，就是 $a_{ij}$ 的余子式，记 $M_{ij}$ 。
通俗理解：把 $a_{ij}$ 所在的“整行整列”删掉，剩下的小行列式，就是它的余子式。

1.2. 代数余子式 $A_{ij}$

定义：

\boxed{A_{ij}=(-1)^{i+j}\,M_{ij}}

通俗理解：在余子式前面，加一个由位置 $(i,j)$ 决定的正负号：
- 行号+列号 $i+j$ 是偶数 → 正号 $A_{ij}=M_{ij}$
- 行号+列号 $i+j$ 是奇数 → 负号 $A_{ij}=-M_{ij}$
记忆：像棋盘格一样， $(1,1)$ 正、 $(1,2)$ 负、 $(2,1)$ 负、 $(2,2)$ 正，依次交替。

1.3. 三阶小例子直观看

设三阶行列式

D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{vmatrix}

求 $a_{11}=1$ 、 $a_{12}=2$ 的余子式与代数余子式：

$a_{11}$ ：划去第1行、第1列 $M_{11}=\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}=-3,\quad A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\times(-3)=-3$
$a_{12}$ ：划去第1行、第2列 $M_{12}=\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}=-6,\quad A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\times(-6)=6$

2. 核心定理：行列式按一行/一列展开

2.1. 定理文字表述

对任意 $n$ 阶行列式：

按第 $i$ 行展开：行列式的值 = 第 $i$ 行每一个元素 × 对应代数余子式，再全部相加；
按第 $j$ 列展开：行列式的值 = 第 $j$ 列每一个元素 × 对应代数余子式，再全部相加。

2.2. 公式（必须记住）

按第 $i$ 行展开：

\boxed{D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in}}

按第 $j$ 列展开：

\boxed{D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \dots + a_{nj}A_{nj}}

2.3. 通俗意义

把高阶行列式强行“降阶”：

3阶 → 拆成3个2阶；
4阶 → 拆成4个3阶；
本质：用低阶、好算的小行列式，表示高阶、难算的大行列式。

3. 定理的简易证明

我们只证按行展开，按列完全对称；证明分两步：先证特殊情形，再推广到一般。

情形1：第 $i$ 行只有第1个元素非0，其余全为0

即第 $i$ 行： $a_{i1}\neq0,\ a_{i2}=a_{i3}=\dots=a_{in}=0$ ，要证：

D = a_{i1}A_{i1}

把第 $i$ 行依次与上面 $i-1$ 行交换，换到第1行，共交换 $i-1$ 次；由“交换两行变号”，行列式变为： $D=(-1)^{i-1}\begin{vmatrix} a_{i1}&0&\cdots&0\\ a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}'$
新行列式第1行只有 $a_{i1}$ ，按行列式定义，展开项只能从第1行取 $a_{i1}$ ，剩下部分恰好是余子式 $M_{i1}$ 对应的 $n-1$ 阶行列式；
结合代数余子式定义 $A_{i1}=(-1)^{i+1}M_{i1}$ ，而 $(-1)^{i-1}=(-1)^{i+1}$ ，因此：

D = a_{i1}\cdot (-1)^{i+1}M_{i1} = a_{i1}A_{i1}

结论成立。

情形2：第 $i$ 行是任意一行（一般情形）

把第 $i$ 行拆成 $n$ 个“只有一个位置非0”的行之和：

(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in}) =(a_{i1},0,\dots,0)+(0,a_{i2},\dots,0)+\dots+(0,0,\dots,a_{in})

由行列式单行可加性（性质5），原行列式拆成 $n$ 个行列式之和：

D=D_1+D_2+\dots+D_n

其中每个 $D_k$ 都是“第 $i$ 行只有 $a_{ik}$ 非0”的情形，直接用情形1的结论：

D_k = a_{ik}A_{ik}

全部加起来，就是：

D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}

定理证毕。

全程只用到你已经学的：交换行变号、单行拆分、代数余子式定义，和你之前抠的「排列逆序数、对换变奇偶」完全自洽。

4.超级重要推论：跨行/跨列展开，和为0

4.1. 推论公式

设 $i\neq k$ （不同行）， $j\neq l$ （不同列），则：

第 $k$ 行元素 × 第 $i$ 行对应代数余子式之和：

\boxed{a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\dots+a_{kn}A_{in}=0}

第 $l$ 列元素 × 第 $j$ 列对应代数余子式之和：

\boxed{a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+\dots+a_{nl}A_{nj}=0}

4.2. 通俗解释

同行/同列展开：等于行列式本身；
跨行/跨列展开：用“别人行”的元素，乘“这一行”的代数余子式，结果一定是0。

4.3. 极简证明（以不同行为例）

构造一个新行列式 $\widetilde{D}$ ：

把原行列式的第 $i$ 行，替换成第 $k$ 行的元素；
此时 $\widetilde{D}$ 有两行完全相同（第 $i$ 行 = 第 $k$ 行），由行列式性质： $\widetilde{D}=0$ 。

对 $\widetilde{D}$ 按第 $i$ 行展开：

第 $i$ 行元素是 $a_{k1},a_{k2},\dots,a_{kn}$ ；
代数余子式和原行列式 $A_{i1},\dots,A_{in}$ 完全一样（划去第 $i$ 行，和原行列式相同）；
展开得：

\widetilde{D}=a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\dots+a_{kn}A_{in}=0

推论证毕。

5.展开定理的完整统一写法（考试常用）

把“同行展开 = D”和“跨行展开 = 0”合并成一条：

\sum_{t=1}^n a_{kt}A_{it} = \begin{cases} D,& k=i\\ 0,& k\neq i \end{cases}

列同理：

\sum_{t=1}^n a_{tl}A_{tj} = \begin{cases} D,& l=j\\ 0,& l\neq j \end{cases}

6.三阶行列式实例：亲手展开验证定理

用行列式

D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{vmatrix}

按第1行展开：

先算全量代数余子式

\begin{align*} A_{11}&=-3,\quad A_{12}=6,\quad A_{13}=-3 \end{align*}

按第1行展开计算

D = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} =1\times(-3)+2\times6+3\times(-3) =-3+12-9=0

和直接计算行列式结果一致，定理成立。

再验证跨行展开=0：用第2行元素 × 第1行代数余子式

4A_{11}+5A_{12}+6A_{13}=4\times(-3)+5\times6+6\times(-3)=-12+30-18=0

推论成立。

7.范德蒙德（Vandermonde）行列式

7.1 定义

形如以下的 $n$ 阶行列式称为范德蒙德行列式：

V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-2} & x_2^{n-1} \\ 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-2} & x_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1} \end{vmatrix}

7.2 定理（计算公式）

定理：上述 $n$ 阶范德蒙德行列式 $V_n$ 的值等于所有可能的差 $(x_j - x_i)$ 的乘积（其中 $1 \le i < j \le n$ ）。公式表达如下：

V_n = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)

推论：范德蒙德行列式为零的充要条件是至少有两个 $x_i$ 相等。

7.3 证明

范德蒙德行列式的证明通常采用数学归纳法，此外也可以通过递推法（或称为消去法）来证明。

方法一：数学归纳法

这是最经典且严谨的证明方式。

1. 基础步骤（ $n=2$ 时验证） 当 $n=2$ 时，行列式为：

V_2 = \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{vmatrix} = x_2 - x_1

而公式 $\prod_{1 \le i < j \le 2} (x_j - x_i) = (x_2 - x_1)$ 与之相等。所以 $n=2$ 时结论成立。

2. 归纳假设 假设对于 $n-1$ 阶的范德蒙德行列式结论成立，即：

V_{n-1} = \prod_{2 \le i < j \le n} (x_j - x_i)

3. 归纳步骤（证明 $n$ 阶成立） 考虑 $n$ 阶行列式 $V_n$ 。从第 $n$ 行开始，自下而上地执行行变换：将上一行乘以 $-x_1$ 后加到下一行。即依次执行：

第 $n$ 行减去第 $n-1$ 行的 $x_1$ 倍
第 $n-1$ 行减去第 $n-2$ 行的 $x_1$ 倍
...
第 $2$ 行减去第 $1$ 行的 $x_1$ 倍

变换过程如下（以元素变化为例）：原第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $x_i^{j-1}$ 。变换后，第 $i$ 行第 $j$ 列的新元素变为 $x_i^{j-1} - x_1 \cdot x_{i-1}^{j-1}$ 。通过这种变换，行列式的值保持不变。得到的新行列式为：

V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \\ 0 & x_2 - x_1 & x_2(x_2 - x_1) & \cdots & x_2^{n-3}(x_2 - x_1) & x_2^{n-2}(x_2 - x_1) \\ 0 & x_3 - x_1 & x_3(x_3 - x_1) & \cdots & x_3^{n-3}(x_3 - x_1) & x_3^{n-2}(x_3 - x_1) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & x_n - x_1 & x_n(x_n - x_1) & \cdots & x_n^{n-3}(x_n - x_1) & x_n^{n-2}(x_n - x_1) \end{vmatrix}

按第一列展开（第一列只有第一个元素为1，其余为0），得到：

V_n = \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & x_2(x_2 - x_1) & \cdots & x_2^{n-3}(x_2 - x_1) & x_2^{n-2}(x_2 - x_1) \\ x_3 - x_1 & x_3(x_3 - x_1) & \cdots & x_3^{n-3}(x_3 - x_1) & x_3^{n-2}(x_3 - x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_n - x_1 & x_n(x_n - x_1) & \cdots & x_n^{n-3}(x_n - x_1) & x_n^{n-2}(x_n - x_1) \end{vmatrix}

从每一行中提取公因子 $(x_i - x_1)$ （其中 $i=2,3,\dots,n$ ）：

V_n = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)\cdots(x_n - x_1) \begin{vmatrix} 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-2} \\ 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} \end{vmatrix}

注意，等式右侧的行列式是一个 $n-1$ 阶的范德蒙德行列式，其变量为 $x_2, x_3, \dots, x_n$ 。根据归纳假设，其值为 $\prod_{2 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$ 。因此：

V_n = \left[ \prod_{i=2}^n (x_i - x_1) \right] \cdot \left[ \prod_{2 \le i < j \le n} (x_j - x_i) \right] = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)

归纳步骤完成，定理得证。

方法二：递推法（消去法）

这种方法的核心思想是通过列变换将行列式降阶，建立递推关系。

步骤详解：

列变换：从第 $n$ 列开始，逐次进行列变换。将第 $n-1$ 列乘以 $x_1$ 后加到第 $n$ 列；然后将第 $n-2$ 列乘以 $x_1$ 加到第 $n-1$ 列；依此类推，直到将第 1 列乘以 $x_1$ 加到第 2 列。这些列变换的目的是消去第一行中除第一个元素外的其余元素。
展开与提取公因子：经过上述变换后，第一行变为 $(1, 0, 0, \dots, 0)$ 。按第一行展开行列式，得到一个 $n-1$ 阶子式。在这个子式中，每一行都有公因子 $(x_i - x_1)$ ，提取后剩余的部分恰好是一个以 $x_2, x_3, \dots, x_n$ 为变量的 $n-1$ 阶范德蒙德行列式。
建立递推：
$V_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)\cdots(x_n - x_1) \cdot V_{n-1}(x_2, x_3, \dots, x_n)$
反复递推：对 $V_{n-1}$ 重复上述过程（以 $x_2$ 为基准进行列变换），得到：
$V_n = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)\cdots(x_n - x_1) \cdot (x_3 - x_2)(x_4 - x_2)\cdots(x_n - x_2) \cdot V_{n-2}(x_3, \dots, x_n)$
如此反复，直到最后剩下二阶行列式 $\begin{vmatrix} 1 & x_{n-1} \\ 1 & x_n \end{vmatrix} = x_n - x_{n-1}$ 。
汇总结果：将所有提取出的因子相乘，最终得到：
$V_n = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$

7.4总结

通过上述证明可以看出，范德蒙德行列式的结果之所以如此简洁，是因为其结构的特殊性。无论是数学归纳法还是递推法，其核心技巧都是通过降阶（利用行列式性质和变换）来消除高次幂的复杂性，最终将所有差值累积起来。这个公式不仅在线性代数中用于判断向量组的线性无关性（即插值多项式的存在唯一性），在多项式理论、编码理论等领域也有重要应用。

8.按行/列展开的核心用法与配套技巧

8.1. 核心用途：降阶计算（最实用）

直接展开 $n$ 阶行列式并不快，但结合倍加不变号性质（一行的 $k$ 倍加到另一行），先在某一行/列造出大量0，再展开：

一行只剩1个非0元 → 展开后只剩1个低阶行列式，计算量暴跌；
这是手动算4阶及以上行列式的标准流程： $\text{造0}\rightarrow\text{按0多的行/列展开}\rightarrow\text{重复降阶}\rightarrow\text{算2阶}$

8.2. 理论用途

证明矩阵可逆 $\iff |A|\neq0$ ；
推导伴随矩阵求逆公式： $A^{-1}=\frac1{|A|}A^*$ （伴随矩阵就是代数余子式构成的矩阵）；
证明克莱姆法则（用行列式解线性方程组）；
简化含字母/变量行列式的证明与计算。

8.3. 常用小性质（由展开直接推）

某一行/列全为0 $\implies D=0$ （展开后每一项都是0）；
上/下三角行列式：按第1行/列反复展开，直接得主对角线元素乘积；
代数余子式只和位置有关，和该位置元素本身数值无关。

9.一句话总结合集

余子式：划掉元素所在行、列剩下的小行列式；
代数余子式：余子式加位置符号 $(-1)^{i+j}$ ；
按行/列展开：同行元素乘对应代数余子式求和 = 行列式值，本质是降阶；
跨行/列展开：不同行/列元素乘对应代数余子式求和 = 0；
计算套路：先造0，再展开，用低阶行列式算高阶；
底层逻辑完全承接你之前学的排列、逆序数、行列式基本性质，是同一套体系的延伸。

如果你需要，我可以用一道4阶数字行列式，完整演示「造0→按行展开→继续降阶→算出结果」的完整实操步骤，你可以直接照搬这个模板做所有大题。

10.参考文献

本文参考AI回答，豆包，Deepseek,千问

第一章行列式5.行列式按行或按列展开