一、基础概念与性质（必须掌握）
1. 定义与判断
- 能被2整除 → 偶数（2n）
- 不能被2整除 → 奇数（2n+1）
2. 运算性质（重点！）
加法：
- 奇 + 奇 = 偶
- 偶 + 偶 = 偶
- 奇 + 偶 = 奇
- 奇 - 奇 = 偶
- 偶 - 偶 = 偶
- 奇 - 偶 = 奇
乘法：
- 奇 × 奇 = 奇
- 奇 × 偶 = 偶
- 偶 × 偶 = 偶
- 若干整数相乘，只要有一个偶数，结果就是偶数
- 全奇数相乘，结果还是奇数
其他：
- 奇数的平方除以4余1，偶数的平方是4的倍数
- 奇数的正整数次幂是奇数
- 相邻两个整数必为一奇一偶
- a+b和a-b的奇偶性相同
- 多个数相加减，结果的奇偶性取决于奇数的个数
3. 特殊数字
- 0是偶数
- 1是奇数
- 质数中只有2是偶数
二、中等难度题型
1. 数字推理
例题：a、b、c是整数，已知a+b是偶数，b+c是奇数，则a+c的奇偶性？
(a+b)+(b+c) = a+c+2b = 偶+奇 = 奇
所以 a+c = 奇-2b = 奇-偶 = 奇
答案：奇数
三、考研难度题型
1. 条件充分性判断中的奇偶分析
例题（2019年改编）：n是正整数 (1) n(n+1)是偶数 (2) n(n²-1)是3的倍数 问：能否确定n是奇数还是偶数？
单独(1)：n(n+1)是偶数 → n和n+1为一奇一偶 → 不确定n
单独(2)：n(n-1)(n+1)是3的倍数 → n为3的倍数或相邻数有3的倍数 → 不确定奇偶
联合：也不能确定（如n=2和n=3都满足）
答案：E（不能确定）
例题 5只杯子杯口全部朝上，规定每次翻转4只杯子，经过()次后，能使杯子口全部朝下？
一个杯子需要翻转奇数次后才能朝下。现在所有杯子翻转的总次数为4n为偶数。各个杯子单独翻转的次数为奇数，累加还是奇数。因此冲突。
例题(2022) 8只杯子杯口全部朝上，规定每次翻转3只杯子，经过n次后，能使杯子口全部朝下，则n的最小值为？
一个杯子需要翻转奇数次后才能朝下。现在所有杯子翻转的总次数为3n为偶数/奇数。各个杯子单独翻转的次数为奇数，累加是偶数。因此n为偶数。8个杯子，每个杯子至少要翻转一次，因此总次数需要>=8，当n=2时，总次数为6不符合条件。因此n=4
2. 复杂归纳推理
例题：设a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，判断a₁₀₀的奇偶性
找规律：
a₁=1（奇）
a₂=2×1+1=3（奇）
a₃=2×3+1=7（奇）
猜想：都是奇数
证明：若aₙ奇，则2aₙ偶，+1为奇，所以都是奇数
答案：奇数
例题(2019)：能确定小明的年龄
(1) 小明的年龄是完全平方数
(2) 20年后小明的年龄是完全平方数
设小明现在的年龄是a^2,则20年后的年龄b可以列出：(20+a)^2=b^2，(a-b)*(a+b) = 20
a-b和a+b要么同奇要么同偶，这里是同偶。所以只有2,10这个组合满足。可以获得唯一解。
例题(2019)：m是偶数
（1）设n为整数，m=n*（n+1）
（2）在1、2、3...、90这90个自然数中，每相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，所得结果为m
第一点，一奇一偶，m肯定是整数
第二点，90个自然数里，45个为偶数，45个为奇数。他们直接任意相加减，影响最终结果的都是奇数的个数。因为45个奇数，因此最后结果肯定是奇数。
四、解题技巧总结
核心技巧：
- 赋值验证法：用0、1、2、-1等简单数测试
- 奇偶传递法：通过加减乘运算推导
- 奇偶分类讨论：分奇偶情况分别分析
- 奇偶性质组合：结合整除特性等
易错点提醒：
- “数”可能指整数，看清题干是否指定正整数
- 奇偶判断只看末位数字（十进制末位）
- 注意0的特殊性：0是偶数！
- 质数中只有2是偶数
五、专项训练题（渐进式）
Level 1：
- 若n是整数，n²+n一定是（） A. 奇数 B. 偶数 C. 0 D. 不能确定
答案：B（n²+n=n(n+1)，必为偶数）
Level 2：
- m、n是正整数，m²-n²=11，求m²+n²（）
答案：61
解析：(m-n)(m+n)=11 11是质数，m+n>m-n>0 得m+n=11，m-n=1 → m=6,n=5 m²+n²=36+25=61 注意：11是奇数，两个因子同奇→m-n和m+n都为奇数→m和n一奇一偶
Level 3（考研真题难度）：
-
【条件充分性判断】n是奇数 (1) n整除3ⁿ-1 (2) n整除3ⁿ+1
分析： 对于(1)：若n偶，3^n-1为奇-奇=偶，能被偶整除。所以不充分 对于(2)：若n偶，3^n+1为奇+奇=偶，能被偶整除。所以不充分 联立1和2，当n为2时，2整除被8和10。因此联立也不充分 答案：E
六、学习建议
- 背熟基本性质：加减乘的奇偶规则必须滚瓜烂熟
- 掌握解题套路：见到整数问题首先想奇偶分析
- 多做分类讨论题：训练思维的严谨性
- 建立联系：将奇偶性与整除、质数、最值等问题结合
