一、基础概念与性质（必须掌握）
1. 定义与判断
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质数（素数） ：大于1，且只有1和自身两个正因数
- 最小的质数是2，唯一的偶质数
- 100以内质数（25个）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
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合数：大于1，除了1和自身还有其他正因数
- 1既不是质数也不是合数
2. 基本性质
- 唯一分解定理：任何大于1的整数可唯一分解为质数幂的乘积
- 质数无穷多个（欧几里得证明）
- 除了2和5，质数个位只能是1,3,7,9（十进制）
- 相邻两个质数的差至少为2（除2和3外）
- 分解质因数：12 = 2x2x3 = 2^2x3^1 因数个数为 (2+1)x(1+1)=6个
- 不同质数之间一定是互质的关系(即公约数只有1) 4,9
二、中等难度题型
1. 质数判定与筛选
例题1：已知p、p+2、p+10都是质数，求p
分析：尝试小的质数
p=2：4是合数不行
p=3：3,5,13都是质数✓
p=5：7,15不行（15合数）
p=7：9不行
p=11：13,21不行（21合数）
p=13：15不行
检验：p=3是解
注意：检验有时需要分类讨论p除以3的余数
例题2：设m、n是小于20的质数，满足条件绝对值(m-n)=2的集合{m,n}共有()组？
集合是无序的，因此我们可以去绝对值，设m>n。再试值代入。一共4组。
例题3(2011)：设a、b、c是小于12的三个不同的质数，且|a-b|+|b-c|+|c-a|=8则a+b+c=(15)
先确定a<b<c，再把绝对值去掉得到c-a=4 所以c和a都是奇数。代入a=3,c=7,b=5
2. 质因数分解应用
例题：三个质数p、q、r满足p+q=r，且p<q<r，求p
分析：p+q=r，由于质数除2外都是奇数
若p,q都是奇质数→r=奇+奇=偶→r=2，矛盾
所以p、q中必有一个是2
又p<q且最小，所以p=2
验证：2+q=r，q、r为奇质数
答案：p=2
三、考研难度题型
1. 质数的表示形式
例题（2013年真题改编）：设p为质数，若p²+2也是质数，则p³+2=（）
分析：p为质数，p²+2是质数
当p=3：9+2=11质数，p³+2=27+2=29
当p=5：25+2=27合数不行
当p=2：4+2=6合数不行
当p=7：49+2=51合数不行
需要证明只有p=3：
考虑p除以3的余数
p=3k时，只有p=3可能（3是质数）
p=3k+1：p²+2=9k²+6k+1+2=9k²+6k+3=3(3k²+2k+1)合数
p=3k+2：p²+2=9k²+12k+4+2=9k²+12k+6=3(3k²+4k+2)合数
所以只有p=3
答案：29
2. 条件充分性判断中的质数问题
例题：m是偶数
(1) m是两个连续质数的和
(2) m是两个连续质数的积
分析：
(1)：两个连续质数→除了2和3，其他连续质数都是奇数
奇+奇=偶，偶+奇=奇
只有2+3=5是奇数，其他都是偶数
所以(1)不能确定m偶（当为2,3时m=5奇）
(2)：两个连续质数，必有一个是2（连续质数只有2,3是连续的偶数奇数组合）
所以积一定是偶数
答案：B（(2)充分，(1)不充分）
四、解题技巧总结
核心技巧：
- 小质数试值法：从2,3,5,7,11开始尝试
- 奇偶分析法：注意2是唯一的偶质数
- 同余分析法：特别是模3、模4、模6的分析
- 质因数分解法：唯一分解定理的应用
- 不等式估计法：√n筛法思想
易错点提醒：
- 1既不是质数也不是合数
- 2是最小的质数，也是唯一的偶质数
- "互质"不等于"都是质数"
- 质数个数有限判断时注意边界
五、专项训练题（渐进式）
Level 1：
- 两个质数的和是21，积是38，求这两个质数
答案：2和19 解析：a+b=21，ab=38，且a、b质数。由ab=38知必有偶质数2，所以是2和19
Level 2：
- 已知p、q是质数，且p+q=99，则p、q的倒数和=？
答案：99/194 解析：p+q=99奇数→一奇一偶→必有2 设p=2，q=97（都是质数） 1/2 + 1/97 = 97/194 + 2/194 = 99/194
Level 3：
- 三个不同的质数a、b、c满足a+b=c，且a<b<c，则a=？
答案：2 解析：a+b=c，质数除2外都是奇数 若a、b都是奇质数→c=奇+奇=偶→c=2（矛盾） 所以a、b中必有一个是2 又a最小，所以a=2
Level 4（考研真题难度）：
- 【条件充分性判断】p是质数
(1) p是大于1的正整数，且p没有小于等于√p的质因数
(2) p是大于1的正整数，且p有且只有两个正因数
分析：
(1) 是质数的等价定义：若p是合数，必有≤√p的质因数。逆否成立。
(2) 是质数的定义
所以(1)(2)都充分
答案：D
六、学习建议
- 熟记常见质数：至少100以内的25个要熟练
- 掌握判定方法：特别是质因数≤√n的判断
- 重视奇偶分析：2是唯一的偶质数，这是最重要的突破口
- 积累解题模式：如质数和为奇数→必含2
