考研小白想学习分房问题，结合例子，给出公式。配合实战举一反三拿下考研
排列组合中的“分房问题”全攻略
一、问题本质与分类
分房问题本质上是“分配问题”：将不同的元素分配到不同的位置（房间、盒子等）。
三大核心类型：
| 类型 | 元素特点 | 房间特点 | 是否允许空房 | 典型问题 |
|---|---|---|---|---|
| 第一类 | 各不相同 | 各不相同 | 是/否 | 人住房间、书放书架 |
| 第二类 | 完全相同 | 各不相同 | 是/否 | 球放盒子、相同奖品分给人 |
| 第三类 | 各不相同 | 完全相同 | 是/否 | 人分组（无标签组） |
二、第一类：不同元素 → 不同房间
1. 允许空房（最基础情况）
问题：n个不同的人，分配到m个不同的房间，允许空房
公式：
每个人有m种选择，相互独立
【例1】 4个不同的人，分配到3个不同的房间，允许空房
解：每个人有3种选择，3^4=81种
【例2】 5本不同的书，放到4个不同的书架上
解：每本书有4种选择，4^5=1024种
2. 不允许空房
问题：n个不同的人，分配到m个不同的房间，每房至少1人（n ≥ m）
公式：
先分组再分配，或直接用第二类斯特林数×排列
总数=m!×S(n,m)
其中 S(n,m) 是第二类斯特林数（将n个不同元素分成m个非空无序组的方法数）
【例3】 4个不同的人，分配到3个不同的房间，每房至少1人
解：
方法1（直接枚举）：
- 必有1房2人，其他2房各1人
- 选哪房有2人：C31=3
- 选哪2人住该房：C42=6
- 剩下2人分配到剩下2房：2! = 2
- 总数：3 × 6 × 2 = 36
方法2（第二斯特林数x排列）：
- 斯特林数是针对相同的房间，得加上排列组合：3! = 3 x 2 = 6
- 不允许空房数：S(4,3) = S(3,2) + 3 x S(3,3) = 3 + 3 * 1 = 6
- 总数：6 x 6 = 36
【例4】 5本不同的书，分给3个不同的人，每人至少1本
解：这就是典型的"不同元素分到不同房间，不许空"
- 斯特林数是针对相同的房间，得加上排列组合：3! = 3 x 2 = 6
- 不允许空房数：S(5,3) = S(4,2) + 3 x S(4,3) = 7 + 3 * [S(3,2) + 3 x S(3,3)] = 7 + 3 * (3 + 3) = 25
A BCD, AB CD, ABC D, B ACD, BC AD, C ABD, AC BD = 7种 - 总数：25 * 6 = 150
三、第二类：相同元素 → 不同房间
1. 允许空房（经典隔板法）
问题：n个相同的球，放入m个不同的盒子，允许空盒
公式（隔板法）：
转化为：n个球排成一排，在它们之间及两端的n+1个空隙中，插入m-1个隔板，将球分成m组
总数=Cn+m−1,m−1=Cn+m−1,n
【推导】 ：
- 将n个球和m-1个隔板排成一排
- 共n+m-1个位置，选m-1个位置放隔板（或选n个位置放球）
- 隔板将球分成m组，每组球数即为对应盒子的球数
- 允许空盒意味着隔板可以相邻
【例5】 10个相同的球，放入4个不同的盒子，允许空盒
解：C10+4−1,4−1=C13,3=286
允许空盒需要加上n个盒子，每个盒子至少n个，需要减去(盒子个数 * (n-1))
2. 不允许空房（至少1个）
问题：n个相同的球，放入m个不同的盒子，每盒至少1球（n ≥ m）
公式：
先给每个盒子放1个球，剩下n-m个球按允许空盒分配
总数=Cn−1,m−1
【例6】 10个相同的球，放入4个不同的盒子，每盒至少1球
解：C9,3=84
验证：例5中286种包含空盒情况，例6中84种是每盒至少1球的情况
四、第三类：不同元素 → 相同房间
这就是分组问题，房间无区别，只看组内成员。
1. 允许空组（可有房间没人）
问题：n个不同的人，分成m个无标签的组，允许空组
公式：第二类斯特林数求和
其中 S(n,k) 是将n个不同元素分成k个非空无序组的方法数
【特殊】m ≥ n 时：
实际就是贝尔数 Bn（将n个不同元素分成任意非空组的总方法数）
例子：3个不同的人分到5个无标签的组(允许为空)，本质就是把3个不同的元素分到任意个无标签的非空组。
B3 = S(3,1) + S(3,2) + S(3,3) = 1 + 3 + 1 = 5
2. 不允许空组（每组至少1人）
问题：n个不同的人，分成m个无标签的组，每组至少1人（n ≥ m）
公式：第二类斯特林数
总数=S(n,m)
【斯特林数递推公式】 ：
【例7】 4个不同的人分成3个无标签组，每组至少1人
解：必然是2+1+1的分组
- 先选2人组成一组：C4,2 = 6
- 剩下2人各成一组：只有1种
- 但组无标签，所以6种中，选哪两人一组都等价
- 实际上：6种
用递推：
S(4,3)=S(3,2)+3×S(3,3)
S(3,2)=3
S(3,3)=1
所以 S(4,3)=3+3×1=6
【例8】 4个不同的人分成2个无标签组，允许空组
解：允许空组意味着可以分成1组或2组
- 分成1组：S(4,1)=1（所有人一起）
- 分成2组：S(4,2) 计算：S(4,2)=S(3,1)+2×S(3,2)=1+2×3=7S(4,2)=S(3,1)+2×S(3,2)=1+2×3=7
- 总数：1 + 7 = 8
总数=S(n,1) + S(n,2) + ... + S(n,k) k为分到的无标签组，允许为空
五、考研实战综合题
实战1：基础混合
【题】 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人
- 每人至少1本，有多少种分法？
- 有人可以没分到书，有多少种分法？
- 甲至少1本，乙至少2本，丙至少3本，有多少种分法？
解：
-
每人至少1本：不同元素→不同房间，不许空
3! x S(6,3) = 540
-
允许有人没书：3^6=729
-
甲≥1，乙≥2，丙≥3：
先给乙1本，丙2本（先满足最低要求）
现在：甲≥1，乙≥1，丙≥1，且剩6-1-2=3本书
问题转化为：3本不同的书分给3人，每人至少1本
3! x S(3,3) = 6
实战2：隔板法应用
【题】 方程 x1+x2+x3+x4=12 的非负整数解有多少个？
解：这就是12个相同的"1"分配到4个不同变量中
- 非负整数解：允许为0
- 隔板法：C12+4−1,4−1=C15,3=455
【变式】 正整数解有多少个？
解：
非负整数解：C11,3=165
实战3：分组+分配
【题】 6个不同的人，分成3组，去打扫3个不同的教室
- 每组2人，有多少种安排？
- 一组1人，一组2人，一组3人，有多少种安排？
- 平均分成3组，再分配到3个不同教室，有多少种安排？
解：
- 每组2人：
-
1+2+3分组：
- 先分组：选1人组：C6,1=6，再从剩下5人选2人组：C5,2=10，剩下3人自动成组
注意：组无标签但人数不同，所以不用除阶乘 - 分组数：6 × 10 = 60
- 再分配：3! = 6
- 总数：60 × 6 = 360
- 先分组：选1人组：C6,1=6，再从剩下5人选2人组：C5,2=10，剩下3人自动成组
-
平均分组再分配：
- 这就是第1问：90种
【关键点】 ：分组时，组无标签；分配时，教室有标签
实战4：限制条件综合
【题】 4个不同的红球，3个不同的蓝球，放入4个不同的盒子
- 每个盒子至少1个球，有多少种放法？
- 每个盒子至少1个球，且每个盒子至多1个红球，有多少种放法？
解：
-
每个盒子至少1球：
-
加限制：每盒至多1红球：
红球先分配：4个不同的红球放入4个不同的盒子，每盒至多1个- 就是红球的排列：4! = 24
蓝球再分配：每个蓝球仍有4种选择，但必须满足每盒至少1球（现在已有红球） 蓝球随便放：24 x 4^3 = 1536
- 就是红球的排列：4! = 24
六、万能解题流程
1. 判断元素是否相同？
│
├─ 不同元素 → 进入2
└─ 相同元素,不同房间 → 隔板法
│
├─ 允许空盒：C(n+m-1, m-1)
└─ 不许空盒：C(n-1, m-1)
2. 判断房间是否相同？
│
├─ 不同房间 → 进入3
└─ 相同房间 → 分组问题
│
├─ 允许空组：ΣS(n,k)
└─ 不许空组：S(n,m)
3. 不同元素→不同房间
│
├─ 允许空房：m^n
│
└─ 不许空房：容斥原理
m^n - C(m,1)(m-1)^n + C(m,2)(m-2)^n - ...
七、易错点总结
- 混淆"分组"与"分配" ：分组时组无标签，分配时位置有标签
- 相同元素用排列：相同元素用组合计数，不同元素用排列计数
- 平均分组忘记除阶乘：如6人平均分3组，要除以3!
- 隔板法条件：元素相同，盒子不同
- 容斥原理符号：奇减偶加，不要记反
八、快速记忆口诀
分房问题三大类，元素房间同异配。
不同元素不同房，允许空房m^n幂。
不许空房用容斥，奇减偶加要牢记。
相同元素不同盒，隔板法是神器备。
允许空盒C(n+m-1,m-1)，不许空盒C(n-1,m-1)。
若遇分组无标签，斯特林数来应对。
分组分配两步走，先分后配乘起来。
限制条件先满足，剩余再用基本法。
九、举一反三练习
- 基础题：8个相同的小球放入3个不同的盒子，有多少种放法？
- 提高题：5个不同的玩具分给4个小朋友，每人至少1个，有多少种分法？
- 综合题：3个相同的红球和4个不同的蓝球放入5个不同的盒子，每个盒子至少1个球，且红球不能全在一个盒子，有多少种放法？
答案提示：
- 允许空盒：C8+3−13−1=C102=45
- 容斥：
- 先处理限制：用总情况减去红球全在同一盒的情况
掌握分房问题的核心在于：先判断元素和房间的特性，再选择对应方法。考研中这类题目常与其他知识点结合，需要灵活运用各种方法，特别是容斥原理和隔板法的熟练应用。
