排列组合中的相邻与不相邻问题全攻略

UrbanJazzerati
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一、核心思想对比

相邻问题 → 捆绑法

把必须相邻的元素捆绑成一个"超级元素"，先处理这个大元素，再处理内部顺序。

不相邻问题 → 插空法

先排其他元素，然后在它们形成的"空隙"中插入不相邻的元素。

二、相邻问题（捆绑法）

1. 基本公式

核心公式：
若要求k个元素必须相邻，则：

  1. 将这k个元素捆绑成1个"大元素"
  2. 总元素数变为：n - k + 1
  3. 排列数 = (n - k + 1)的全排列 × k个元素的内部排列

总排列数=(n−k+1)!×k!总排列数=(n−k+1)!×k!

2. 基础例题

【例1】  5人排队，甲乙必须相邻
解：

  1. 捆绑：甲乙→1个元素
  2. 新队列：4个元素（甲乙、丙、丁、戊）
  3. 排列：4! × 2! = 24 × 2 = 48种

【例2】  7本书排成一排，其中3本数学书必须放在一起
解：

  1. 捆绑：3本数学书→1个元素
  2. 新排列：5个元素（数学书、其他4本）
  3. 排列：5! × 3! = 120 × 6 = 720种

3. 多组相邻问题

【例3】  7人排队，要求甲和乙相邻，丙和丁也相邻
解：

  1. 甲乙捆绑：1个元素
  2. 丙丁捆绑：1个元素
  3. 新队列：5个元素（甲乙、丙丁、其他3人）
  4. 排列：5! × 2! × 2! = 120 × 2 × 2 = 480种

【例4】  A,B,C,D,E,F排一排，ABC必须相邻，且按A,B,C顺序
解：

  1. ABC已定序，视为1个元素
  2. 新队列：4个元素（ABC、D、E、F）
  3. 排列：4! × 1! = 24种（内部顺序固定，不用乘3!）

三、不相邻问题（插空法）

1. 基本公式

核心步骤：

  1. 先排其他没有限制的n-m个元素，有P₁种方法
  2. 这n-m个元素形成(n-m+1)个空隙（包括两端）
  3. 将m个不相邻的元素插入这些空隙，有P₂种方法

总排列数=P1×P2总排列数=P1​×P2​

2. 基础例题

【例1】  5人排队，甲乙不相邻
解：

  1. 先排其他3人：3! = 6
  2. 3人形成4个空隙：○ _ ○ _ ○ _ ○
  3. 甲乙插入4个空隙：A42=12A42​=12
  4. 总数：6 × 12 = 72种

【验证】  总排列5! = 120，甲乙相邻48种，不相邻120-48=72 ✓

【例2】  7本书排一排，3本数学书互不相邻
解：

  1. 先排其他4本书：4! = 24
  2. 4本书形成5个空隙
  3. 3本数学书插入5个空隙：A53=60A53​=60
  4. 总数：24 × 60 = 1440种

3. 特殊情形：元素相同

【例3】  3个红球和4个蓝球排成一排，红球互不相邻
解：

  1. 先排4个蓝球：只有1种（因为蓝球相同）
  2. 4个蓝球形成5个空隙：_ B _ B _ B _ B _
  3. 选3个空隙放红球：C53=10C53​=10
  4. 总数：1 × 10 = 10种

四、综合实战（相邻+不相邻混合）

类型1：部分相邻，部分不相邻

【题1】  7人排队：甲乙相邻，丙丁不相邻
解：

  1. 先处理相邻：甲乙捆绑→1个元素
  2. 新队列：4个元素（甲乙、戊、己、庚）
    注意：这里丙丁还没排，先不考虑
  3. 实际应先排无限制的3人（戊己庚）和甲乙捆绑：4! = 24
  4. 这4个元素形成5个空隙，将丙和丁插入：C52=10
  5. 内部：甲乙可交换（2!），丙丁顺序也重要（2!）
  6. 总数：24×10×2×2 = 960

类型2：环形排列的不相邻问题

【题2】  6人围圆桌而坐，甲乙不相邻
解：
环形排列公式：n人环形排列数 = (n-1)!

  1. 总排列数（环形）：(6-1)! = 120

  2. 甲乙相邻（环形）：将甲乙捆绑，看作1个元素

    • 新环形：5个元素，排列数：(5-1)! = 24
    • 甲乙内部：2! = 2
    • 相邻数：24×2 = 48

  3. 不相邻数：120 - 48 = 72

【环形插空法】  直接计算：

  1. 先让除了甲和乙的人坐下（固定位置，环形中固定1人以打破对称性）：3! = 6
  2. 这4人形成4个空隙，但乙不能坐甲两旁：C42=6
  3. 甲和乙可以互换（2!）
  4. 总数：6 × 2 × 6 = 72

类型3：数字中的不相邻

【题3】  用1-6组成无重复数字的六位数，奇偶数相间
解：相当于奇数不相邻且偶数不相邻

  • 奇数：1,3,5
  • 偶数：2,4,6
  1. 先排奇数：3! = 6
  2. 奇数形成4个空隙：_ 奇 _ 奇 _ 奇 _
  3. 先将两个偶数插入空隙2、4，确保奇数偶数相间：C32=3
  4. 再将最后一个偶数插入第1或者4空隙：C21=2
  5. 插入空隙2、4的两个偶数可以互换（2!）
  6. 总数：6 × 3 × 2 × 2 = 72

五、考研真题实战

真题1（基础）

【题】  8个座位排成一排，安排5人就坐，每人1个座位，要求空位不相邻，有多少种坐法？
解：

  1. 5人先坐下（不考虑空位）：5! = 120
  2. 5人形成6个空隙（包括两端）
  3. 3个空位插入6个空隙且不相邻：C63=20C63​=20
  4. 总数：120 × 20 = 2400

真题2（中等）

【题】  一排10个座位，安排4人就坐，每人1个座位，要求任意两人不相邻，有多少种坐法？
解：

解法1：：
10个座位编号1-10，选4个座位给人坐，要求选出的座位号不相邻。
等价于：从10个座位中选4个，且任意两个被选座位不相邻。
经典公式：从n个座位选m个不相邻座位 = Cn−m+1mCn−m+1m​
代入：C10−4+14=C74=35C10−4+14​=C74​=35
再乘人的排列4! = 24
总数：35×24=840 ✓

之前120的解法错在：6个空座位放入5个空隙，不一定每个空隙都有空位，但要求的是"任意两人不相邻"，只需两人之间至少1个空位，不需要每个空隙都有空位。

真题3（综合）

【题】  8个节目中有2个歌曲、3个舞蹈、3个小品，排节目单要求：

  1. 2个歌曲相邻
  2. 3个舞蹈互不相邻
    求排列数。
    解：

更好思路：

  1. 先排小品和歌曲包（注意歌曲包内部可交换）

    • 元素：歌曲包(2!)、小品1、小品2、小品3 → 4个元素
    • 排列：4! × 2! = 24×2=48

  2. 这4个元素形成5个空隙

  3. 3个舞蹈插入5个空隙且不相邻：A53=60A53​=60

  4. 总数：48 × 60 = 2880

六、快速解题模板

相邻问题模板：

if (k个元素必须相邻) {
    1. 捆绑成1个元素
    2. 总数 = (n-k+1)! × k!
}

不相邻问题模板：

if (m个元素互不相邻) {
    1. 先排其他(n-m)个元素：P₁ = (n-m)!
    2. 形成(n-m+1)个空隙
    3. 将m个元素插入：P₂ = A_{n-m+1}^m （元素不同）
                     或 C_{n-m+1}^m （元素相同）
    4. 总数 = P₁ × P₂
}

混合问题口诀：

相邻捆绑打包走，
不相邻的插空溜。
先排无限制元素，
特殊要求放后头。
环形注意去重复，
正难则反是妙筹。

七、易错点总结

  1. 捆绑后忘记内部排列：捆绑的k个元素内部有k!种排列
  2. 插空时数错空隙数：n个元素排一排，形成n+1个空隙（包括两端）
  3. 环形排列直接用线性公式：记住环形排列是(n-1)!
  4. 元素相同与不同混淆：相同元素用组合C，不同元素用排列A
  5. 问题转化错误：复杂问题先拆解，画图帮助理解

八、举一反三练习

  1. 基础巩固：5对夫妇围圆桌而坐，每对夫妇相邻，有多少坐法？
  2. 考研难度：从1-9选5个数字组成五位数，要求奇偶数相间且数字"3"和"4"不相邻

答案提示：

  1. 环形排列，每对夫妇捆绑：(5-1)! × 2^5 = 24×32=768
  2. 分类讨论

1. 数字集合的奇偶分布

1~9 中：

  • 奇数：1, 3, 5, 7, 9 （共 5 个奇数）
  • 偶数：2, 4, 6, 8 （共 4 个偶数）

2. 两种奇偶模式分类

模式 A：奇偶奇偶奇
第 1、3、5 位是奇数（需要 3 个奇数），第 2、4 位是偶数（需要 2 个偶数）。

  • 奇数共 5 个选 3 个：C(5,3)C(5,3)

  • 偶数共 4 个选 2 个：C(4,2)C(4,2)
    选完数字后，将它们安排到各自的奇数位和偶数位：

    • 3 个奇数分配到位置 {1,3,5}：3!3! 种
    • 2 个偶数分配到位置 {2,4}：2!2! 种

所以模式 A 的数量（先不考虑 3 和 4 不相邻限制）：

C(5,3)×C(4,2)×3!×2!=10×6×6×2=720

模式 B：偶奇偶奇偶
第 1、3、5 位是偶数（需要 3 个偶数，但偶数只有 4 个，够用），第 2、4 位是奇数（需要 2 个奇数）。

  • 选偶数：C(4,3)C(4,3)
  • 选奇数：C(5,2)C(5,2)
    奇数分配到 {2,4}：2!2!
    偶数分配到 {1,3,5}：3!3!

模式 B 的数量（不考虑 3 和 4 相邻）：

C(4,3)×C(5,2)×3!×2!=4×10×6×2=480

总不限制 3 和 4 相邻的情况：

720+480=1200

3. 考虑 3 和 4 不能相邻的限制

3 是奇数（在 1~9 里是奇数），4 是偶数。

我们需要从上面的 1200 种排列中，扣除“3 和 4 相邻”的情况。

“3 和 4 相邻”有顺序两种：34 或 43。
但要结合奇偶模式来分析，因为 3 与 4 的奇偶性不同，它们必须占据相邻的一奇一偶两个位置，并且这两个位置在模式中奇偶不同，所以它们只能在“奇位-偶位相邻”或“偶位-奇位相邻”中。

分模式看：

模式 A（奇偶奇偶奇）：

位置奇偶：1奇 2偶 3奇 4偶 5奇

3 是奇数 ⇒ 3 可以在位置 {1,3,5}
4 是偶数 ⇒ 4 可以在位置 {2,4}

相邻的奇偶位置对是：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)。 4xC(4,2)×C(3,1)×2!=144

所以模式 A 的“3 与 4 相邻”就是这 144 种。

模式 B（偶奇偶奇偶）：

位置奇偶：1偶 2奇 3偶 4奇 5偶

3 是奇数 ⇒ 可以在位置 {2,4}
4 是偶数 ⇒ 可以在位置 {1,3,5}

相邻位置对： (1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)

4xC(3,2)×C(4,1)×2!=96

所以模式 B 中 3 与 4 相邻有 96 种。

4. 扣除相邻情况

模式 A 符合限制的数量：720−144=576
模式 B 符合限制的数量：480−96=384

总符合限制的数量：

576+384=960576+384=960

掌握相邻与不相邻问题的核心在于：画图分析空隙，合理使用捆绑与插空。考研中这类题目通常不会单独出现，而是与其他限制条件结合，需要灵活运用基本方法进行分解处理。

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