学习OpenGL——第六天向量与矩阵基础知识笔记向量 1. 点乘（Dot Product）点乘可以用来判断两个向量是

向量与矩阵基础知识笔记

向量

1. 点乘（Dot Product）

点乘可以用来判断两个向量是否正交（即两向量成直角）或平行。
通过点乘结果，可以计算两个非单位向量的夹角。具体方法是：点乘的结果除以两个向量长度的乘积，得到的就是夹角的余弦值（cosθ）。

$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$

2. 叉乘（Cross Product）

叉乘只在三维空间（3D）中有定义。
叉乘需要两个不平行的向量作为输入，结果是一个正交于这两个向量的新向量。
如果输入的两个向量本身就正交，则叉乘后会得到三个互相正交的向量。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}$

矩阵

矩阵的每一项称为元素（Element）。
矩阵通过 (i, j) 进行索引，i 表示行，j 表示列。例如，2×3 的矩阵有2行3列，称为“2×3矩阵”或矩阵的维度（Dimension）。
注意：与2D图像索引的(x, y)顺序相反，矩阵中获取元素4的索引是(2, 1)（第二行，第一列）。

矩阵与向量的乘法

1. 缩放（Scaling）

缩放是指改变向量的长度，但保持方向不变。
在2D或3D中，分别对每个轴（x、y、z）进行缩放。例如，可以定义一个缩放向量（S1, S2, S3），每个分量对应一个轴。
OpenGL中，3D缩放时，2D的z轴可以设为1，保证z轴数值不变。
非均匀缩放：各轴缩放因子不同；均匀缩放：所有轴缩放因子相同。
缩放矩阵可表示为：

$% 缩放变换 \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x x \\ s_y y \\ s_z z \\ w \end{pmatrix}$

2. 位移（Translation）

位移是指将原始向量加上另一个向量，从而获得一个新位置的向量。
在4×4矩阵中，位移值位于第四列最上面的三个位置。如果位移向量为（Tx, Ty, Tz），则位移矩阵可定义为：

$% 位移变换 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + t_x w \\ y + t_y w \\ z + t_z w \\ w \end{pmatrix}$

位移需要用到向量的w分量（齐次坐标），否则无法实现。
3×3矩阵无法实现位移操作，因为没有足够的空间存放位移值。

齐次坐标（Homogeneous Coordinates）

向量的w分量称为齐次坐标。

从齐次向量还原3D向量时，需要将x、y、z分别除以w。

齐次坐标的优点：允许在3D向量上进行位移。

如果w=0，则该向量为方向向量（不能位移）。

3. 旋转（Rotation）

2D或3D空间中的旋转通过角度表示，可用角度制或弧度制。360°=2π弧度。
常用角度与弧度互转公式：
- 弧度转角度：角度 = 弧度 × (180.0f / π)
- 角度转弧度：弧度 = 角度 × (π / 180.0f)
- π ≈ 3.14159265359
3D旋转需指定一个旋转轴和一个角度。旋转矩阵根据旋转轴不同而不同，记作θ：
- 沿x轴旋转：

$% 绕X轴旋转 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ \cos\theta y - \sin\theta z \\ \sin\theta y + \cos\theta z \\ w \end{pmatrix}$

- 沿y轴旋转：

$% 绕Y轴旋转 \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta x + \sin\theta z \\ y \\ -\sin\theta x + \cos\theta z \\ w \end{pmatrix}$

- 沿z轴旋转：

$% 绕Z轴旋转 \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta x - \sin\theta y \\ \sin\theta x + \cos\theta y \\ z \\ w \end{pmatrix}$

4. 矩阵组合（Matrix Composition）

矩阵变换的强大之处在于，可以将多个变换通过矩阵乘法组合成一个矩阵。
注意：矩阵乘法不满足交换律，顺序很重要。
- 乘法顺序：最右边的矩阵先与向量相乘，推荐从右向左理解。
- 通常建议：先缩放→再旋转→最后位移，否则变换效果会互相影响。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x \cos\theta & -s_y \sin\theta & 0 & t_x \\ s_x \sin\theta & s_y \cos\theta & 0 & t_y \\ 0 & 0 & s_z & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

GLM 简介

GLM（OpenGL Mathematics）是一个仅包含头文件的数学库，无需链接和编译，只需包含头文件即可。
从0.9.9版本起，GLM矩阵类型默认初始化为零矩阵（所有元素为0），而不是单位矩阵（对角线为1，其余为0）。
- 如果使用0.9.9及以上版本，建议初始化方式为：glm::mat4 mat = glm::mat4(1.0f);
在GLSL中，矩阵可以直接作为mat4类型uniform变量传递给着色器。例如，在顶点着色器中用矩阵uniform乘以位置向量。

GLM三种主要变换操作

缩放变换：glm::mat4 scale(glm::mat4 const& m, glm::vec3 const& v);
旋转变换：glm::mat4 rotate(glm::mat4 const& m, float angle, glm::vec3 const& axis);
平移变换：glm::mat4 translate(glm::mat4 const& m, glm::vec3 const& v);


函数名	第一个参数	第二个参数	第三个参数	返回值
translate	glm::mat4	glm::vec3	-	glm::mat4
rotate	glm::mat4	float(角度)	glm::vec3(轴)	glm::mat4
scale	glm::mat4	glm::vec3	-	glm::mat4