排列组合与加法乘法原理详解

UrbanJazzerati
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排列组合与加法乘法原理详解

一、两个基本原理

1. 加法原理（分类计数原理）

核心思想：如果完成一件事有n类不同的方法，每类方法分别有m₁,m₂,...,mₙ种方法，且这些方法互斥（只能选一类），则总方法数为各类方法数之和。

公式：N = m₁ + m₂ + ... + mₙ

例子：

  • 从北京到上海，可以坐高铁（5个班次）或飞机（3个航班），共有5+3=8种走法
  • 书架上有4本数学书和5本英语书，从中任取1本，有4+5=9种取法

关键特征：分类讨论，每类方法之间是"或"的关系

2. 乘法原理（分步计数原理）

核心思想：如果完成一件事需要n个步骤，每个步骤分别有m₁,m₂,...,mₙ种方法，且各步骤相互独立（每个步骤都要完成），则总方法数为各步骤方法数的乘积。

公式：N = m₁ × m₂ × ... × mₙ

例子：

  • 从A地到B地有3条路，从B地到C地有2条路，则从A到C有3×2=6种走法
  • 一个密码锁有3位，每位可以是0-9，共有10×10×10=1000种密码

关键特征：分步进行，步骤之间是"且"的关系

二、排列

1. 排列定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列。

2. 排列数公式

全排列：n个不同元素全部取出的排列

Pn​=n!=n×(n−1)×(n−2)×...×2×1Pn​=n!=n×(n−1)×(n−2)×...×2×1

选排列：从n个不同元素中取出m个元素的排列

image.png 特殊值：

image.png

3. 排列实战举例

image.png 一定要注意是选一个人站在排头，这种选择会有4个，但是人只有一个。

三、组合

1. 组合定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序。

2. 组合数公式

image.png

3. 组合重要性质

image.png

4. 组合实战举例

image.png

四、排列组合综合实战

实战类型1：数字问题

【题1】  用0,1,2,3,4组成无重复数字的三位数
解：

image.png

实战类型2：排队问题

【题2】  6人排队，甲乙不相邻

image.png

实战类型3：分组分配问题

【题3】  6本不同的书分给3人，每人2本
解：

image.png

实战类型4：涂色问题

【题4】  用5种颜色给图中4个区域涂色，相邻区域不同色
解：按顺序涂色

  • 区域1：5种
  • 区域2：与1不同，4种
  • 区域3：与1、2不同，3种
  • 区域4：与1、3不同，3种
  • 总数：5×4×3×3=180

五、解题思维导图

判断问题类型
    │
    ├─ 是否与顺序有关？
    │    ├─ 是 → 排列问题
    │    └─ 否 → 组合问题
    │
    ├─ 计数方法选择？
    │    ├─ 分类完成 → 加法原理
    │    └─ 分步完成 → 乘法原理
    │
    └─ 特殊限制？
         ├─ 相邻问题 → 捆绑法
         ├─ 不相邻问题 → 插空法
         ├─ 定序问题 → 除法处理
         ├─ 分组问题 → 先分组再分配
         └─ 分配问题 → 隔板法(相同物品)

六、常见错误提醒

  1. 混淆排列与组合：关键看是否考虑顺序
  2. 重复计数：特别是在分组问题中
  3. 遗漏情况：分类讨论要全面
  4. 忽视特殊元素：如0不能在最高位
  5. 错误使用隔板法：要求物品相同且盒子不同

七、快速检验技巧

  1. 数值合理性：排列数>组合数(相同参数)
  2. 对称性检验：Cnm=Cnn−m
  3. 极端情况检验：验证m=0,1,n等特殊情况
  4. 逻辑检验：结果是否符合实际意义

什么时候排列组合要除以全排列

当我们需要从总数中选出元素，并且“选出来的结果只看元素种类，不看顺序”时，就需要除以选出的那些元素的“全排列数”，以消除因排列顺序不同而造成的重复计数。

下面通过三个经典例子来解释，就能彻底明白。

核心思想：消除顺序造成的重复

想象一下，你要从 A、B、C、D 四个人中选出两个人去打扫卫生。
“选人”这个动作本身就包含了排列顺序（比如先选A再选B，和先选B再选A是不同的两个过程），但结果（A和B去打扫）我们认为是相同的。

  1. 第一步（考虑顺序的选取）：  我们从4个人中有序地选出2个人。

    • 第一次选有4种选择。
    • 第二次选有3种选择。
    • 所以总共有 4 × 3 = 12 种有序的选择方式。我们称它为  “排列数” P(4, 2) 。

  2. 第二步（发现重复）：  在这12种有序选择中，我们把“结果相同”的都列出来看看：

    • (A, B) 和 (B, A) → 结果都是 {A, B}
    • (A, C) 和 (C, A) → 结果都是 {A, C}
    • (A, D) 和 (D, A) → 结果都是 {A, D}
    • (B, C) 和 (C, B) → 结果都是 {B, C}
    • (B, D) 和 (D, B) → 结果都是 {B, D}
    • (C, D) 和 (D, C) → 结果都是 {C, D}
    • 你发现了吗？每一种最终的组合（比如{A, B}），都恰好对应了 2! = 2 种不同的排列方式。

  3. 第三步（除法消除重复）：  既然每个“真正的结果”（组合）都被计算了 2! 次，那么我们只需要把总数（排列数）除以这个重复的次数，就能得到唯一的组合数。

    • 公式：组合数 C(4, 2) = 排列数 P(4, 2) / 2! = (4×3) / (2×1) = 6。
    • 这正好对应上面列出的6个无序的结果：{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}。

所以，除以全排列的实质是：把“有序”的选择过程，还原成“无序”的最终结果。

三种常见场景（要除以全排列的）

场景一：简单的组合问题（最常见）

问题：从 n 个不同元素中选出 k 个，形成一个集合（不看顺序）。
为什么除：如上例所述，选出的 k 个元素自身有 k! 种排列方式，这些排列在“集合”的视角下是同一个结果。
公式：C(n, k) = P(n, k) / k! = n! / [k!(n-k)!]

场景二：分组分配问题（平均分组）

问题：将 6 个人平均分成 3 组，每组 2 人（假设组别没有编号，例如只是分成三个讨论小组）。
步骤与除法：

  1. 假设给组临时编号为 1，2，3。
  2. 从6人中选2人到第1组：C(6, 2) 种。
  3. 从剩下4人中选2人到第2组：C(4, 2) 种。
  4. 最后2人到第3组：C(2, 2) 种。
  5. 目前算法是 C(6,2) × C(4,2) × C(2,2)。
  6. 问题：这样计算，分组 (AB, CD, EF)、(AB, EF, CD)、(CD, AB, EF)…… 会被视为不同的分法，因为组号（1,2,3）不同。但题目要求“组别没有编号”，这些实际上都是同一种分组方式（三个无区别的组）。
  7. 除法消除：这3个组本身的排列有 3! 种。所以最终无编号的平均分组数是：[C(6,2) × C(4,2) × C(2,2)] / 3!

关键：当分出的多个组“大小相同”且“组别本身无区别”时，就要除以这些组的“全排列数” 。

场景三：有重复元素的全排列

问题：单词 “SUCCESS” 的字母有多少种不同的排列？
步骤与除法：

  1. 如果7个字母都不同，排列数是 7!。
  2. 但字母有重复：3个S，2个C，1个U，1个E。
  3. 思考：假设给3个S标上号 S₁, S₂, S₃。那么 S₁UC₂C₁E S₃ 和 S₃UC₁C₂E S₂ 在“字母有区别”时是不同的，但实际单词字母无区别时，它们看起来都是 SUCCESS。
  4. 除法消除：所有 7! 种排列中，只要把3个S任意互换位置（3! 种方式），得到的实际单词都一样。同理，2个C互换（2! 种方式）也一样。
  5. 所以，实际不同的排列数为：7! / (3! × 2! × 1! × 1!)

关键：对于内部完全相同的重复元素，它们自身的所有排列不会产生新结果，所以用除法剔除这些“内部排列”带来的重复。

一句话总结

当你用“有序”的方法（排列、分步计数）去计算一个“无序”的结果（组合、无编号分组、集合）时，就必须除以那个“有序部分”的全排列数，以消除因考虑顺序而多算的次数。

总结记忆口诀：

  • 分类用加法，分步用乘法
  • 有序是排列，无序是组合
  • 相邻要捆绑，不相邻插空
  • 分组先组合，分配看情况
  • 限制条件多，正难则反想

通过大量练习这些基本题型，掌握核心思想比死记公式更重要。遇到复杂问题，先分析是排列还是组合，再用加法/乘法原理分解，结合特殊方法处理限制条件。

数学分册错题笔记
P118
例3 两组平行线可以组成一个矩形
例4 抛两次骰子后之和为奇，可能是奇偶也可能是偶奇。算的是可能的情况，不是概率，第一次抛骰子后，是奇数的类型也就是C31
P120
例4 不要小看列举法，这几个元素会有相同，不能直接使用C63，分成3个相同/2个相同/没有相同
P121
例1 分成等差1/2/3/4，需要注意数列可以是递增也可以是递减
P122 例2 找平均数
例3 反向求的时候注意十位为3的情况中有一种会包含着个位为3的情况，需要排除
例4 三角形两边长和小于第三边，三边无标签，求的时候只需要设a<=b<=c
P123
例5(2)分类讨论，适当求反，比如不同时入选，可以变成总数-同时入选
例6
(4)可以看下取否和不去否的总数是什么
(5)这题里ABCD并不能在剩下的10人中被选到所以比较简单
P124
例7
(2)这题不能想当然，从内科和外科医生分别先取1个，再从10-2人中选4个。组合会重复，比如从内科医生中取到的A，也可能被大组里取到。需要考虑取否。
(4)既有主任，也有外科医生。是两个不同的条件，可以先看，是主任且为外科医生，剩下从9个里面随便选4个，其中包括了外科主任。接着看第二种情况，是内科主任，且没有外科主任(需要加这个条件，不然会有重复，因为第一种情况包含了外科主任)，至少有一个为外科医生，可以取反。
P124
例9单循环赛，AB-BA为一组。
P126
例13注意审题，卡片虽然分为不同的颜色，但是均不相同。选择一种条件来分类讨论，这里选择绿色卡片至多1张，比较方便。条件三张不能是同一颜色，可以通过取反来求。但是遇到绿色卡片为一张，三张是同一色这种不满足反面条件的，就需要正面求解。

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