二项分布详解：从抛硬币到概率计算
一、基础知识准备
1. 阶乘（Factorial）
阶乘是一个数与比它小的所有正整数的乘积。
- 符号：
n! - 定义：
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1 - 特殊规定：
0! = 1
例子：
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
3! = 3 × 2 × 1 = 6
1! = 1
0! = 1
2. 排列组合（组合数）
- 组合数
C(n,k)：从n个不同元素中，不考虑顺序地选取k个元素的方法数。 - 公式：
C(n,k) = n! / [k! × (n-k)!]
例子：从5个学生中选2个参加比赛，有多少种选法？
C(5,2) = 5! / [2! × (5-2)!] = 120 / [2 × 6] = 120 / 12 = 10
3. 概率的乘法和加法规则
-
乘法规则：独立事件同时发生的概率 = 各自概率的乘积
- 例子：抛硬币2次都正面朝上的概率 = 0.5 × 0.5 = 0.25
-
加法规则：互斥事件（不能同时发生）的概率 = 各自概率的和
- 例子：抛硬币1次，正面或反面的概率 = 0.5 + 0.5 = 1
二、二项分布的核心案例：抛5次硬币
案例设定
- 试验：抛一枚均匀硬币5次
- 每次结果：正面(H)或反面(T)，概率各为0.5
- 随机变量X：正面朝上的次数
- X的可能值：0, 1, 2, 3, 4, 5
二项分布公式
对于抛n次硬币，恰好有k次正面的概率：
P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ
n= 总试验次数 = 5k= 正面次数（0到5）p= 每次试验正面的概率 = 0.5C(5,k)= 从5次抛掷中选k次为正面的方法数
三、详细计算每一个概率
第1步：计算组合数 C(5,k)
| k | C(5,k) 计算 | 结果 |
|---|---|---|
| 0 | 5!/(0!×5!) = 1 | 1 |
| 1 | 5!/(1!×4!) = 120/(1×24) | 5 |
| 2 | 5!/(2!×3!) = 120/(2×6) | 10 |
| 3 | 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) | 10 |
| 4 | 5!/(4!×1!) = 120/(24×1) | 5 |
| 5 | 5!/(5!×0!) = 1 | 1 |
第2步：计算每个概率 P(X=k)
通用部分：pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ = 0.5ᵏ × 0.5⁵⁻ᵏ = 0.5⁵ = 1/32 = 0.03125
情况1：X=0（0次正面，5次反面）
P(X=0) = C(5,0) × 0.5⁰ × 0.5⁵
= 1 × 1 × 0.03125
= 0.03125
所有可能结果：TTTTT（只有这1种）
情况2：X=1（1次正面，4次反面）
P(X=1) = C(5,1) × 0.5¹ × 0.5⁴
= 5 × 0.5 × 0.0625
= 5 × 0.03125
= 0.15625
所有可能结果（5种）：
HTTTT, THTTT, TTHTT, TTTHT, TTTTH
情况3：X=2（2次正面，3次反面）
P(X=2) = C(5,2) × 0.5² × 0.5³
= 10 × 0.25 × 0.125
= 10 × 0.03125
= 0.3125
部分可能结果（10种中的几种）：
HHTTT, HTHTT, HTTHT, HTTTH,
THHTT, THTHT, THTTH,
TTHHT, TTHTH,
TTTHH
情况4：X=3（3次正面，2次反面）
P(X=3) = C(5,3) × 0.5³ × 0.5²
= 10 × 0.125 × 0.25
= 10 × 0.03125
= 0.3125
部分可能结果（10种中的几种）：
HHHTT, HHTHT, HHTTH,
HTHHT, HTHTH, HTTHH,
THHHT, THHTH, THTHH,
TTHHH
情况5：X=4（4次正面，1次反面）
P(X=4) = C(5,4) × 0.5⁴ × 0.5¹
= 5 × 0.0625 × 0.5
= 5 × 0.03125
= 0.15625
所有可能结果（5种）：
HHHHT, HHHTH, HHTHH, HTHHH, THHHH
情况6：X=5（5次正面，0次反面）
P(X=5) = C(5,5) × 0.5⁵ × 0.5⁰
= 1 × 0.03125 × 1
= 0.03125
所有可能结果：HHHHH（只有这1种）
四、概率分布表与验证
完整的概率分布表
| 正面次数(k) | 计算过程 | 概率P(X=k) | 百分比 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 × 0.03125 | 0.03125 | 3.125% |
| 1 | 5 × 0.03125 | 0.15625 | 15.625% |
| 2 | 10 × 0.03125 | 0.3125 | 31.25% |
| 3 | 10 × 0.03125 | 0.3125 | 31.25% |
| 4 | 5 × 0.03125 | 0.15625 | 15.625% |
| 5 | 1 × 0.03125 | 0.03125 | 3.125% |
验证：所有概率之和应为1
总和 = 0.03125 + 0.15625 + 0.3125 + 0.3125 + 0.15625 + 0.03125
= (0.03125×2) + (0.15625×2) + (0.3125×2)
= 0.0625 + 0.3125 + 0.625
= 1.0000 ✓
五、为什么组合数C(n,k)会出现？
以X=2为例详细解释
当我们要计算"恰好2次正面"的概率时：
-
固定一种特定顺序的概率：比如
HHTTT的概率P(HHTTT) = 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.5⁵ = 0.03125（乘法规则：每次抛掷独立）
-
有多少种不同的顺序：
- 我们需要从5个位置中选出2个位置放"H"
- 剩余3个位置自动放"T"
- 这相当于：从5个位置中选2个，有多少种选法？
- 答案：
C(5,2) = 10种
-
总概率：
P(X=2) = 10 × 0.03125 = 0.3125（加法规则：这10种情况互斥，不能同时发生）
六、二项分布的通用公式总结
对于任何二项试验（n次独立试验，每次成功概率为p）：
P(恰好k次成功) = C(n,k) × pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ
记忆技巧：
- C(n,k) ：有多少种不同的成功/失败排列方式
- pᵏ：k次成功的概率（乘法规则）
- (1-p)ⁿ⁻ᵏ：(n-k)次失败的概率（乘法规则）
- 三者相乘：得到恰好k次成功的总概率
七、实际应用例子
例子1：投篮问题
- 某球员投篮命中率60%
- 投10次，恰好命中7次的概率是多少？
n=10, k=7, p=0.6
P(X=7) = C(10,7) × 0.6⁷ × 0.4³
= 120 × 0.0279936 × 0.064
≈ 0.215
例子2：质量控制
- 生产线产品不良率5%
- 抽检20个，没有不良品的概率是多少？
n=20, k=0, p=0.05
P(X=0) = C(20,0) × 0.05⁰ × 0.95²⁰
= 1 × 1 × 0.95²⁰
≈ 0.3585
八、常见问题解答
Q1：为什么0! = 1？
A：这是数学上的规定，为了保持公式的一致性。比如C(n,0)应该等于1（从n个中选0个只有1种方法：什么都不选）。
Q2：C(n,k)和C(n,n-k)为什么相等？
A：从n个中选k个成功，等价于选(n-k)个失败。在我们的例子中，C(5,2)=C(5,3)=10。
Q3：如果硬币不均匀（p≠0.5）呢？
A：公式仍然适用！只是pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ不再等于0.5ⁿ。例如，如果p=0.7（正面概率70%），那么P(X=2)要重新计算。
通过这个抛硬币的例子，你应该已经完全理解了：
- 阶乘和组合数的计算
- 概率的乘法和加法规则
- 二项分布公式的每个部分含义
- 如何实际计算二项概率
记住这个模式，你就可以解决任何二项分布问题了！
