柯西积分公式

柯西积分公式（也常被称为柯西壁内公式）是复变函数论中的核心定理，它揭示了解析函数在区域内任意一点的函数值与该函数在区域边界上的积分之间的关系。

1. 定理前提条件

设复变函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$C$ 是 $D$ 内的一条正向简单闭曲线，$z_0$ 是 $C$ 内部的任意一点，则有：

2. 简单推导过程

推导的核心思路是利用解析函数的连续性和复积分的基本性质，构造含奇点的辅助积分。

步骤1：构造辅助小圆

因为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析，所以 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内连续。 以 $z_0$ 为圆心，作一个半径为 $\varepsilon$ 的正向小圆 $C_\varepsilon$，使得 $C_\varepsilon$ 完全包含在 $C$ 的内部。 根据复合闭路定理，闭曲线 $C$ 和小圆 $C_\varepsilon$ 上的积分相等：

步骤2：拆分积分并利用连续性

将上式右侧的积分变形：

步骤3：计算两个分项积分

• 对于第一个积分： 小圆 $C_\varepsilon$ 的参数方程为 $z=z_0+\varepsilon e^{i\theta}$（$\theta\in[0,2\pi]$），$dz=i\varepsilon e^{i\theta}d\theta$，代入得

  $$\oint_{C_\varepsilon}\frac{1}{z-z_0}dz=\int_{0}^{2\pi}\frac{i\varepsilon e^{i\theta}}{\varepsilon e^{i\theta}}d\theta=\int_{0}^{2\pi}id\theta=2\pi i$$

• 对于第二个积分： 由 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续，对任意 $\delta>0$，存在 $\varepsilon>0$，当 $|z-z_0|<\varepsilon$ 时，$|f(z)-f(z_0)|<\delta$。 根据积分估值不等式：

  $$\left|\oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right|\le\oint_{C_\varepsilon}\frac{|f(z)-f(z_0)|}{|z-z_0|}ds<\frac{\delta}{\varepsilon}\cdot 2\pi\varepsilon=2\pi\delta$$

  由于 $\delta$ 可以任意小，因此这个积分的值为 $0$。

步骤4：整合得到公式

将两个分项积分的结果代入，得

整理后即为柯西积分公式：

3. 核心意义

柯西积分公式说明：解析函数在区域内的取值由边界上的取值完全决定，这是解析函数区别于实变函数的重要特性。