拆解指数加权平均：5 分钟看懂机器学习的 “数据平滑神器”拆解指数加权平均：5 分钟看懂机器学习的 “数据平滑神器” M

拆解指数加权平均：5 分钟看懂机器学习的 “数据平滑神器”

Ming | 2025.12

什么是指数加权平均？简单来说，它是一种用于将序列数据变得更加平滑的经典方法。在机器学习中，我们经常会遇到来自传感器、实验或训练过程的噪声数据，这些数据波动很大，不容易直接观察趋势。指数加权平均就像一个“数据平滑神器”，能够有效过滤短期波动，突出长期趋势，帮助我们更好地理解数据变化。

例如，下面是一个带有噪声的原始序列：

在使用不同平滑参数 β 的指数加权平均后，我们可以得到平滑程度各异的序列：

如果是了解过股票交易的朋友，应该对“移动平均线”（Moving Average）这个概念非常熟悉。它常被用于观察股价的趋势，帮助投资者过滤短期市场的“噪声”，把握中长期的走势方向。其实，指数加权平均正是股票技术分析中“指数移动平均线”（Exponential Moving Average, EMA）的核心计算方法。

指数加权平均的实现非常简单，其本质是对历史数据进行加权组合，且权重随时间指数衰减。

假设我们有一个原始序列 $a_1, a_2, …, a_n$ ，我们希望得到一个平滑后的序列 $b_1, b_2, …, b_n$ 。

通常我们令初始平滑值 $b_0 = a_0$ ，然后从 $n=1$ 开始迭代计算：

b_{n} = \beta b_{n-1} +(1-\beta)a_{n}

其中， $\beta$ 是一个介于 $0$ 和 $1$ 之间的平滑因子。β 越大，曲线越平滑，但也会对最新数据的反应变得“迟钝”；β 越小，平滑后的曲线越接近原始数据，保留的细节也越多。公式可以直观理解为：每一步的平滑值 $b_n$ 是上一时刻平滑值 $b_{n-1}$ 与当前观测值 $a_n$ 的加权平均。

假设我们有一个长度为 5 的序列：

a=[10,8,12,9,11]

并取 $\beta = 0.8$ ，初始值 $b_0 = a_0 = 10$ 。我们一步步来计算 $b_1$ 到 $b_5$ ：

$b_1 = 0.8 \times 10 + 0.2 \times 8 = 8 + 1.6 = 9.6$
$b_2 = 0.8 \times 9.6 + 0.2 \times 12 = 7.68 + 2.4 = 10.08$
$b_3 = 0.8 \times 10.08 + 0.2 \times 9 = 8.064 + 1.8 = 9.864$
$b_4 = 0.8 \times 9.864 + 0.2 \times 11 = 7.8912 + 2.2 = 10.0912$

最终平滑后的序列约为：

b=[9.6,10.08,9.864,10.0912]

可以看出，原本波动较大的 $[8, 12, 9, 11]$ 被平滑为一个变化更缓和的序列。

为什么这个公式能让一个曲线变得更加平滑呢？其实很好理解，从“惯性”的角度来看。当 $\beta$ 很大（比如 0.9）时， $b_{n-1}$ 在更新中占据很大比重，当前的新值 $a_n$ 只占很小的比例，这意味着平滑序列 $b$ 具有强烈的“记忆”能力，不会因为某一点的突变而产生剧烈波动。反之，如果 $\beta$ 很小（比如 0.1），则平滑序列会更紧密地跟踪原始数据的变化，适应更快，但平滑效果减弱。

不知道到这里你发现没有，上面的式子虽然能很好的平滑序列，但是有一个缺点，就是在序列刚开始的时候容易“失真”。从上面的展开式也可以看出，在序列开始时，我们令 $b_0 = a_0$ ，由于历史数据较少， $b_0$ 的权重 $\beta$ 较大，若 $b_0$ 与 $a_1, a_2, …$ 差异明显，就会导致平滑序列初期出现“失真”。下面这张图就清晰展示了这个问题：

蓝色是原始曲线，红色是指数加权平均后的曲线。明显可见，红色曲线在开始阶段比蓝色高出不少，这是因为我们初始设置 $b_0 = a_0$ ，而 $a_0$ 可能恰是一个较大或较小的异常值，影响了后续若干点的平滑结果。

那么如何解决这种失真呢，方法有很多，常用的解决方法之一是使用序列前若干点的平均值作为初始值，而不是直接使用 $a_0$ 。

具体做法是：

选取一个合适的初始窗口长度 $k$ （例如 $k=5$ 或 $k=10$ ，根据序列总体长度和噪声情况决定）。
计算前 $k$ 个原始数据的平均值： $b_{0} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}a_{i}$

这样做的优点是能够抵消个别异常点对平滑初期的影响，使平滑曲线从一开始就更贴合数据的整体趋势。一般来说， $k$ 不宜过大，否则会引入不必要的滞后；如果数据在开始阶段变化剧烈，也可适当缩小 $k$ ，让平滑过程更快适应当前趋势。

接下来，我们用Python来实际操作演示一下指数加权平均的效果。这个例子会用到NumPy和Matplotlib库，我们将一步步生成带噪声的序列，并用不同参数进行平滑处理。

首先，引入必要的库，并定义一个用于生成平滑随机序列的辅助类SmoothRandomSequence

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random

class SmoothRandomSequence:
    def __init__(self, low, high, initial_value=None, max_step=None):
        self.low = low
        self.high = high
        self.range_width = high - low
        if initial_value is None:
            self.current = random.uniform(low, high)
        else:
            self.current = min(high, max(low, initial_value)) 
        if max_step is None:
            self.max_step = self.range_width * 0.1  
        else:
            self.max_step = max_step
    def next(self):
        step = random.uniform(-self.max_step, self.max_step)
        next_value = self.current + step
        if next_value < self.low:
            next_value = self.low + (self.low - next_value) 
        elif next_value > self.high:
            next_value = self.high - (next_value - self.high)  
        next_value = max(self.low, min(self.high, next_value))
        self.current = next_value
        return next_value
    def generate_sequence(self, n):
        sequence = [self.current]
        for _ in range(n - 1):
            sequence.append(self.next())
        return sequence

这个SmoothRandomSequence类的具体实现细节不重要，你只需要知道它能生成一个在指定范围内波动、变化相对平滑的随机序列，模拟真实场景中带有噪声的数据。

现在，让我们使用这个类来生成一个包含300个数据点的原始序列：

# 创建平滑随机数生成器实例
# 设置范围0到60，初始值20，最大步长3
generator = SmoothRandomSequence(low=0, high=60, initial_value=20, max_step=3)

# 生成300个随机数的原始序列
noise_array = np.array(generator.generate_sequence(300))

# 绘图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 3))
ax.plot(noise_array)

然后写一个名为exponential_weighted_average的函数，这个函数需要传入一个原始numpy序列，beta值和初始窗口大小 $k$ 就可以返回平滑后的序列，返回的序列类型也是numpy序列

def exponential_weighted_average(sequence, beta, initial_window=None):
    """
    参数:
    sequence: numpy数组，原始序列
    beta: 平滑因子，取值范围0~1
    initial_window: 用于计算初始平均值的窗口大小

    返回:
    平滑后的序列，长度与原始序列相同
    """
    n = len(sequence)
    smoothed = np.zeros(n)

    # 计算初始值
    if initial_window is not None and initial_window > 0:
        k = min(initial_window, n)
        smoothed[0] = np.mean(sequence[:k])
    else:
        smoothed[0] = sequence[0]

    # 迭代计算指数加权平均
    for i in range(1, n):
        smoothed[i] = beta * smoothed[i - 1] + (1 - beta) * sequence[i]

    return smoothed

最后，我们使用上面定义的exponential_weighted_average函数，来计算并且绘制三种不同 $\beta$ 下的平滑后的曲线

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 3))

# 计算三种不同beta下的平滑结果
array1 = exponential_weighted_average(noise_array,beta = 0.95,initial_window=4)
array2 = exponential_weighted_average(noise_array,beta = 0.9,initial_window=4)
array3 = exponential_weighted_average(noise_array,beta = 0.8,initial_window=4)

# 绘制
ax.plot(noise_array)
ax.plot(array1, label=r"$\beta$=0.95")
ax.plot(array2, label=r"$\beta$=0.9")
ax.plot(array3, label=r"$\beta$=0.8")
ax.legend()