2.4 One-Sided Limits and Limits at Infinity

单向极限集顾名思义，如果$x = c$处的极限值，在从小于c的方向趋近c得到，那么称为left-hand limit。反之，如果从大于c的方向趋近c得到，就称为right-hand limit。分别记为：

$\lim_{x \to c^-}f(x) = L, \ \lim_{x \to c^+}f(x) = L$

一个显而易见的推论是，函数f(x)在c处有极限，当且仅当在c处有左右极限，且它们相等。

$\lim_{x \to c}f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to c^-}f(x) = L \ and \lim_{x \to c^+}f(x) = L$

One-sided limit definition:

We say that f(x) has right-hand limit L at $x_0$, and write

$\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x) = L$

if for every number $\epsilon > 0$ there exists a corresponding number $\delta > 0$ such that for all x

$x_0 < x < x_0 + \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$

We say that f(x) has left-hand limit L at $x_0$, and write

$\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x) = L$

if for every number $\epsilon > 0$ there exists a corresponding number $\delta > 0$ such that for all x

$x_0 - \delta < x < x_0 \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$

一个很重要的极限：$\lim_{\theta \to 0}\frac{sin\theta}{\theta} = 1$
这个结果可以通过三明治定理求得，我好奇的是人是怎么凭空构建出三明治的两边函数的？数学真的需要灵光一现和天赋呀。这个极限在求解其它三角函数的极限时很有用，基本的思路都是将其它三角函数化解为此函数的代数表达式，然后根据极限法则逐一求解。

Definition of finite limit as $x \to \pm \infty$:

We say that f(x) has the limit L as x approaches infinity and write

$\lim_{x \to \infty}f(x) = L$

if, for every number $\epsilon > 0$, there exists a corresponding number M such that for all x

$x > M \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$

We say that f(x) has the limit L as x approaches minus ifinity and write

$\lim_{x \to -\infty}f(x) = L$

if, for every number $\epsilon > 0$, there exists a corresponding number N such that for all x

$x < N \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$

前面学习到的对于极限的法则，在这里同样成立。

一个很重要的极限：$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 0$，这个极限对于求解rational function的极限很有用，基本的思路就是将原函数化解成此函数的代数表达式，然后利用极限法则求最终解。

比如：
$\lim_{x \to \infty}\frac{5x^2 + 8x - 3}{3x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty}\frac{5 + (8/x) - (3/x^2)}{3 + (2/x^2)} = \frac{5}{3}$

这种解题思路对于分母的指数大于或等于分子的情形都可行，但是如果分母的指数小于分子，那么就要对分子除以整体的分母，得到一个带有变量的商和余数，然后再分别求极限。过程如下：

比如：

$f(x) = \frac{x^2 - 3}{2x - 4}$

首先，$x^2 - 3$除以$2x - 4$，2x需要乘以x/2来凑出$x^2$，$2x - 4$乘以x/2后得到$x^2 - 2x$，我们用$(x^2 - 3) - (x^2 - 2x)$得到余数$2x - 3$, 继续用$(2x - 3)/(2x - 4)$，这次商为1，因为两边2x相等，那么$(2x - 3) - (2x - 4) = 1$, 最终得到常数余数1. 所以商为$x/2 + 1$，余数为1. 上面的式子可以转化为：

$f(x) = \frac{x^2 - 3}{2x - 4} = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{2x - 4}$

当$x \to \pm\infty$时，f(x)的极限就是$x/2 + 1$。

当x趋于无限的时候，函数的极限有两种情况，一种是常数，一种是含有x的函数。我们将它们称为渐近线(asymptotes)。当极限为常数时，渐近线为$y = c$，也称为横向渐近线(Horizontal asymptotes)。另一种情况称之为斜向渐近线(Oblique asymptotes)，当然仅仅是在只有一个变量的时候才能说是“斜”的。这在分析函数的变化趋势的时候很有用，比如算法复杂度分析。