2.2 Calculating Limits Using the Limit Laws

Limit Laws: 一些重要的极限法则

假设L, M, c, k是实数，并且：

$\lim\limits_{x \to c}f(x) = L \ and \ \lim\limits_{x \to c}g(x) = M$

那么：

Sum Rule: $\lim\limits_{x \to c}(f(x) + g(x)) = L + M$

Difference Rule: $\lim\limits_{x \to c}(f(x) - g(x)) = L - M$

Product Rule: $\lim\limits_{x \to c}(f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$

Constant Multiple Rule: $\lim\limits_{x \to c}(k \cdot f(x)) = k \cdot L$

Quotient Rule: $\lim\limits_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, M \neq 0$

Power Rule: $\lim\limits_{x \to c}(f(x))^{r/s} = L^{r/s}$

这里r和s需要是整数，其实就是说$r/s$需要是一个有理数定律才能成立。


对于Quotient Rule，很多时候会遇到分母函数的值域在极限值处为零。为了处理这种情况下的极限计算，大体有两种思路。要么寻找处可以消解的公因子，使得分子分母除去公因子后，分母在极限值处不为零。或者，反过来对分子分母同时乘于某个公因子，使得分母此时在极限值处不为零。


The Sandwich Theorem: 三明治定理是一种间接的方式求函数的极限值。假如：

$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$， 在包含c的区间内成立，除了$x = c$，并且$g(x)$和$h(x)$在c处的极限值为L，那么$f(x)$在c处的极限值也是L。

这个定理很直观的就是成立的，即使f(x)在c处没有定义，或者f(c)并不满足和g(x),h(x)的大小关系，上述结论依然成立，这个从极限的定义可以推导得来。
当应用三明治定理求解极限值时，方法是从目标函数f(x)出发，构建出不等式，使得不等式的左右两边都是关于x的更容易求解极限值的函数，从而间接的求的f(x)的极限值。


The Squeeze Theorem: 挤压定理是三明治定理的推论。假如：

$f(x) \leq g(x)$，在包含c的区间内成立，除了$x = c$，那么在c处的极限值满足：

$\lim_{x \to c}f(x) \leq \lim_{x \to c}g(x)$

需要注意的是，将$\leq$替换成$<$，上述定理是不成立的。