1.6 Trigonometric functions

Radian measure: 弧度的概念，指的是一个角在单位圆上对应的弧度的长度。

比如已知单位圆的周长为$2\pi$，整圆旋转一周是$360^{\circ}$，那么弧度和角度换算公式为：

$1\ degree\ = \frac{\pi}{180}\ radian$，
$1\ radian\ = \frac{180}{\pi}\ degree$

同时，一个预定是以笛卡尔坐标系原点为起点的射线，它与x轴的夹角，当射线逆时针旋转时夹角为正，当射线顺时针旋转时夹角为负。\

一些常见的三角函数和它们的图像：

Periodic function: 周期函数的定义

"A function f(x) is periodic if there is a positive number p such that $f(x+p) = f(x)$ for every value of x. The smallest such value of p is the period of f."

三角函数的最重要两个公式：

$\cos^2\phi + \sin^2\phi = 1$

$\cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B$
$\sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$

这两个公式，加上三角函数本身的定义和属性，可以推导出绝大部份的公式。这些包括：

$\tan\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi}$
$\cot\phi = \frac{1}{\tan\phi}$
$\sec\phi = \frac{1}{\cos\phi}$
$\csc\phi = \frac{1}{\sin\phi}$

$\tan\phi$和$\cot\phi$的周期为$\phi$，其它三角函数的周期为$2\phi$。

cos和sec是偶函数，其它为奇函数。\

The law of cosines: 这个定律在三角形求边长的时候很有用，它是指已知一个三角形有a，b，c三边，c边对应的角为$\phi$，那么三边和角之间存在以下关系。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\phi$

将三角形画到笛卡尔坐标上

c的长度即是A和B点之间的距离，根据两点间距离公式可得：

$c^2 = (a\cos\phi - b)^2 + (a\sin\phi - 0)^2 \\ \ \ \ = a^2(\cos^2\phi + \sin^2\phi) + b^2 - 2ab\cos\phi \\ \ \ \ = a^2 + b^2 - 2ab\cos\phi$

三角函数最重要的性质是它的周期性，可以说任何有周期属性的关系，都可以用三角函数拟合出来。根据上一节关于函数转换的特性，应用到三角函数上，可以得到很多周期函数的特性：

$f(x) = A\sin[\frac{2\pi}{B}(x - C)] + D$