1.5 Combining Functions; Shifting and Scaling Graphs

这一节类容主要讲述复合函数的常见形式。

$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$
$(f - g)(x) = f(x) - g(x)$
$(fg)(x) = f(x)g(x)$
$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\ g(x) \neq 0$
$(cf)(x) = cf(x)$, c is constant\

Composite functions: 复合函数

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$, call "f composed with g".

"The domain of $f \circ g$ consists of the numbers x in the domain of g for which g(x) lies in the domain of f."\

Vertical shifts: 当$k > 0$，函数向上平移，当$k < 0$，函数向下平移

$y = f(x) + k$

Horizontal shifts: 当$h > 0$，函数向下平移，当$h < 0$，函数向上平移。这个有点反直觉。

$y = f(x + h)$

Vertical and Horizontal scaling and Reflecting Formulas. For $c > 1$:

$y = cf(x)$, 竖直拉伸系数c
$y = \frac{1}{c}f(x)$, 竖直压缩系数c
$y = f(cx)$, 横向压缩系数c
$y = f(\frac{1}{c}x)$, 横向拉伸系数c

For $c = -1$:

$y = -f(x)$, 沿x轴映射
$y = f(-x)$, 沿y轴映射\

下图可以概括函数的各种transformations：

Ellipse: 椭圆，它可以通过对圆的方程进行拉伸或压缩得到。

$c^2x^2 + y^2 = r^2$

当$c = 1$时，它是圆的方程；
当$0 < c < 1$时，它被横向拉伸，或者说竖直压缩；
当$c > 1$时，它被横向压缩，或者说竖直拉伸；

将方程两边同时除以$r^2$，得到：

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, where $a = r/c,\ b = r$.

更进一步用$x - h$代替x，用$y -k$代替y，得到：

$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

这就是标准椭圆方程，$(h, k)$是圆心。