2.5 Infinite Limits and Vertical Asymptotes

Infinite limit不是真正的极限值，它是指在x趋向某个值时，函数的值趋向无穷。它的精确定义为：

We say that f(x) approaches infinity as x approaches $x_0$, and write

$\lim_{x \to x_0}f(x) = \infty$

if for every positive real number B there exists a corresponding $\delta > 0$ such that for all x

$0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > B$

We say that f(x) approaches negative infinity as x approaches $x_0$, and write

$\lim_{x \to x_0}f(x) = -\infty$

if for every real number -B there exists a corresponding $\delta > 0$ such that for all x

$0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) < -B$

和上节横向渐近线对应的，这里的$x = x_0$可以认为是纵向渐近线(Vertical asymptotes)。横向，纵向和斜渐近线在分析函数的变化方式的时候很有用，这里引入一个概念(Dominant terms)。比如：

$f(x) = \frac{x^2 - 3}{2x - 4} = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{2x - 4}$

当$x \to \infty$时，$\frac{1}{2x - 4}$的极限值为0，因此此函数可以简化为$\frac{x}{2} + 1$，那么$\frac{x}{2} + 1$就称为dominant terms。

同样的，当$x \to 2$时，$\frac{1}{2x - 4}$趋近于无穷，那么这时候它就是dominant terms。 同样的，这种在算法复杂度分析的时候很有用。

另一种情况是，两个函数虽然表达式完全不同，但是在当x趋于无穷时，它们其实是等价的(identical)。比如：

$\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \pm \infty}\frac{3x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 5x +6}{3x^4} = 1$

所以可以认为f(x)和g(x)在x趋于无穷的时候是等价的。