2.1 Rates of change and limits

Average rate of change over an interval: 区间内的平均变化率，一个例子是平均速度的概念。

$\frac{\delta y}{\delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

从几何的角度，平均变化率可以看作是函数曲线上两点$(x_1, x_2)$连线的斜率，这个线称为函数曲线的割线(secant)。

另一个概念瞬时变化率(instantaneous rates of change)，可以看作是曲线上一个点处的变化率。用割线逼近的方法看待这个问题的话，可以认为割线的一点不动，另一点不断向它移动，即割线长度逼近0，这样就可以得到这个点处的瞬时变化率。即：

$\frac{\delta y}{\delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h}, \ h \to 0$

注意这里的h是趋近于零，但是不等于零。瞬时变化率，从几何上看是曲线上这一点的切线(tangent)。

函数极限的初始概念：当$f(x)$的x无限趋近于$x_0$时，$f(x)$的值也无限趋近于L，那么就说L是函数$f(x)$在$x_0$处的极限。这不是一种严格的数学定义。

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = L$

需要注意的是，函数不需要在$x_0$处有定义。

Identity funtion: 恒等函数，即$f(x) = x$。

Constant function: 常数函数