2.6 Continuity

这一节开始介绍连续(continuity)的概念。

首先是函数在某个点的连续(continuity at a point)，如果f(x)在点a存在极限(左右极限也行)，并且极限的值L等于f(a)，那么f(x)在点a就是连续的。

所以这引出判断连续的三个条件：

1. f(a)存在，也就是a是f(x)的定义域；
2. $\lim_{x \to a}f(x)$存在；
3. $\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$；

还介绍了几张不连续的类型：

1. removable，函数的某一点存在极限，但是可能没有定义，或者函数的值不等于极限值。
2. jump discontinuity，某点的左右极限不相等，或者极限值不等于函数的值。
3. infinite discontinuity，某点的极限是无穷，函数在此无定义域。
4. oscilating discontinuity，在某点不能存在极限，因为是震荡趋近的。

把点连续的概率扩展，引出连续函数的概念。连续函数是指它的定义域内的每一点都连续。当然，函数也可以在某个区间连续，但这不能称为连续函数的充分条件。

连续函数的7个重要定理：如果f和g是两个函数，且在c点连续，那么：

1. $f + g$在c点也连续；
2. $f - g$在c点也连续;
3. $f \cdot g$在c点也连续;
4. $k \cdot g$也连续，k为常数；
5. $f/g$在c点也连续，$g(c) \neq 0$；
6. $f^{r/s}$在c点也连续，r和s为整数，c在$f^{r/s}$有定义；
7. $f \circ g$在c点也连续；

这些定理很有用，基本上当我们无法判断一个函数是否连续时，那么就将它转换为上述的表达方式，从而间接的判断它是否连续。

Continues extension：这个是指某些函数在某点不连续，但是在这点存在极限值，那么将此极限值纳入函数的值域，那么此函数就转化为连续函数。不清楚这个有什么应用。

Intermediate value theorem for continus functions：连续函数的中间值定理，一个很重要的定理。它指的是在一个函数的连续区间[a, b], 如果存在一个$y_0 = f(c)$，且$f(a) \leq y_0 \leq f(b)$，那么$a \leq c \leq b$。

从几何的角度来说，f(a)和f(b)之间的一条线$y = y_0$，一定和[a, b]区间的线段有交点。中值定理一个应用是判断函数是否有解，即是否存在x，使得f(x) = 0。可以明显的从几何角度发现，如果f(a)和f(b)的符号相反，那么y=0这根线一点和[a, b]区间的线段有交点，也就是有解。更进一步的，利用计算机图形工具，可以估算解的值。