一文帮你搞懂管综数学里的"十字交叉法"

管综数学中的“交叉法”（也叫十字交叉法或加权平均法）是一个非常实用且重要的解题技巧，它主要用于解决两类不同属性的数值混合后得到新平均值的问题。我们从原理、公式推导到应用场景和真题举例，全面解析这个方法。

管综数学必杀技：巧用“交叉法”速解混合平均值问题

在管理类联考（管综）数学中，有一类高频题型： “两种不同浓度的溶液混合，得到新的浓度” 或 “两种不同价格的商品混合，得到新的平均价格” 。这类问题本质上都是加权平均问题，而“交叉法”（十字交叉法）正是解决它的终极利器。

一、核心思想：什么是交叉法？

交叉法是一种通过十字交叉的形式，快速计算两种不同成分在混合物中的比例（权重）的方法。

它的核心公式其实源于加权平均数的基本定义：

设有两种成分：

• 成分A，其值为 a (例如浓度、价格)，权重为 x（例如质量、体积、数量）
• 成分B，其值为 b (且 b < a)，权重为 y
• 混合后的平均值为 r (且 b < r < a)

$根据加权平均公式： \frac{a \cdot x + b \cdot y}{x + y} = r对这个等式进行变形，可以得到：$

这个最终的比值 (r-b)/(a-r) 就是交叉法的基础。我们用一个“十字交叉”的图来直观表示：

<TEXT>
      A (a)   /   (r - b)   ← A的权重系数
          \ /
           r
          / \
      B (b)   \   (a - r)   ← B的权重系数

结论： 两种成分的权重之比 x : y = (r - b) : (a - r)

二、解题步骤：“一看、二写、三交叉、四解比”

使用交叉法解题，只需四步：

1. 一看：识别题型。题目中通常会出现两种不同属性的物体（如溶液、商品、人群）混合，并给出了混合后的平均属性值。
2. 二写：写好框架。在草稿纸上画一个“十”字。左上角写A的值(a)，左下角写B的值(b)，中间写混合后的平均值(r)。
3. 三交叉：做减法交叉。用中间的数 r 分别减去左下角的 b（得到 r-b，写在右上角），用左上角的 a 减去中间的数 r（得到 a-r，写在右下角）。
4. 四解比：得到的比值 (r-b) : (a-r) 就是A与B的权重之比。根据这个比值和题目中的其他条件（如总重量、总价格等），即可求出所求量。

切记：交叉减法的方向绝对不能错！ 永远是“大值减小值”，即 (混合值 - 小值) 和 (大值 - 混合值)。

三、应用场景与真题举例

交叉法最常用于以下三种场景：

场景一：溶液浓度问题（最经典）

【例题】 甲瓶装有浓度为50%的盐水800克，乙瓶装有浓度为30%的盐水400克。现将两瓶盐水混合，混合后的盐水浓度是多少？

解：

1. 识别：两种浓度混合，求混合浓度。

2. 交叉：

   • A = 50%， B = 30%， 设混合浓度为 r
   • 画十字：

   <TEXT>
       50%   /   (r - 30%)
            \ /
             r
            / \
       30%   \   (50% - r)
   

   • 权重之比为甲溶液质量 : 乙溶液质量 = (r - 30%) : (50% - r) = 800 : 400 = 2 : 1

3. 列方程：

答：混合后的浓度约为43.33%。

场景二：平均价格问题（盈亏问题）

【例题】 某商店购进了一批单价为80元的商品，按每件100元售出时，可卖出100件。现打算降价促销，使销售额达到10800元。问需要降价多少元？（提示：可理解为原价商品和降价商品“混合”后，平均售价为10800/总销量）

解：

1. 识别：这可以看作“原价100元”和“降价后价格p元”两种商品混合，平均售价为 10800 / (100 + x)，其中x为降价后多卖出的件数。但用交叉法思维更巧。

2. 目标：销售额10800元。设降价后售价为 p 元，多卖出 x 件。

   • 原价部分销售额：100 * 100 = 10000元
   • 降价部分销售额：p * x 元
   • 总销售额：10000 + p x = 10800 => p x = 800
   • 总销量：100 + x
   • 混合后的平均价格：10800 / (100 + x)

3. 交叉：两种“商品”价格混合。

   • A（原价商品）：价格100元，数量100件
   • B（降价商品）：价格p元，数量x件
   • 混合平均价：10800/(100+x)
   • 画十字：

   <TEXT>
       100   /   [10800/(100+x) - p]
           \ /
       10800/(100+x)
           / \
       p    \   [100 - 10800/(100+x)]
   

   • 数量之比为：100 : x = [10800/(100+x) - p] : [100 - 10800/(100+x)]

4. 简化：此题用交叉法列式稍复杂，但体现了混合思想。更直接的方法是联立 p x = 800 和 平均价定义式。但交叉法是这类问题的通用框架。

场景三：人群平均分问题

【例题】 某班级男生的平均分为85分，女生的平均分为91分，全班平均分为88分。已知男生有20人，问女生有多少人？

解：

1. 识别：两组数据混合求平均，已知平均值和一方数量，求另一方数量。是交叉法的完美应用。

2. 交叉：

   • A（男生）：85分
   • B（女生）：91分
   • 混合平均：88分
   • 画十字：

   <TEXT>
       85   /   (88 - 91) = -3
           \ /
            88
           / \
       91   \   (85 - 88) = -3
   

   • 注意：这里出现了负数，但取绝对值即可。权重之比（男:女） = |88-91| : |85-88| = 3 : 3 = 1 : 1。
   • 这意味着男女生人数之比为1:1。

3. 求解：已知男生20人，所以女生也是20人。

答：女生有20人。

四、总结与注意事项

1. 优点：交叉法最大的优势是直观、快捷，避免了设立多元方程组的复杂过程，大大节省了考试时间。
2. 本质：一定要明白它的本质是加权平均，千万不要死记硬背图形。理解了推导过程，任何时候都能自己推导出来。
3. 关键：找准权重！在浓度问题中，权重通常是质量或体积；在价格问题中，权重是数量；在平均分问题中，权重是人数。
4. 陷阱：交叉减法得出的比值是 A的权重 : B的权重，顺序要和你在十字左上角和左下角填写的A、B值的顺序一致。