LeetCode热题100——560.和为K的子数组使用前缀和结合哈希表实现 O(N) 统计。通过 S[j-1] = S

题目概述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回该数组中和为 k 的子数组的个数。

子数组是数组中元素的连续非空序列。

示例：

输入： nums = [1,1,1], k = 2
输出： 2

提示：

1 <= nums.length <= 2 * 104
-1000 <= nums[i] <= 1000
-107 <= k <= 107

解法

前缀和+哈希表

/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var subarraySum = function(nums, k) {
    const mp = new Map();
    mp.set(0, 1);
    let count = 0, pre = 0;
    for (const x of nums) {
        pre += x;
        if (mp.has(pre - k)) {
            count += mp.get(pre - k);
        }
        if (mp.has(pre)) {
            mp.set(pre, mp.get(pre) + 1);
        } else {
            mp.set(pre, 1);
        }
    }
    return count;
};

题目旨在寻找数组nums中的子数组S[j,i]满足S[j,i] = k

定义前缀和S[i]为数组中的前i个元素之和那么S[j,i] = S[i] - S[j-1] 那么问题转化为寻找S[j-1] = S[i] - k

当我们遍历到当前索引 $i$ 并计算出前缀和 $S[i]$ 时，我们只需要知道之前有多少个索引 $j-1$ 处的前缀和恰好等于 $S[i] - k$ ，这些索引的数量就是以 $i$ 结尾、且和为 $k$ 的子数组的个数。

mp (哈希表 Map): 用于存储 前缀和 及其出现的次数。
- key: 某个前缀和的值（即 $S[j-1]$ ）。
- value: 该前缀和出现的次数。
pre: 当前遍历到的前缀和 $S[i]$ 。
count: 最终结果，和为 $k$ 的子数组的总个数。

初始化与边界条件

mp.set(0, 1) : 处理以数组第一个元素开始的子数组。
- 如果子数组从索引 $0$ 开始，即 nums[0..i]，那么它的和是 $S[i]$ 。
- 公式为 Sum(0, i) = S[i] - S[-1]。定义空前缀和 $S[-1] = 0$ 。
- 通过初始化 mp.set(0, 1)，相当于提前记录了空前缀和 $S[-1]=0$ 出现了一次。这样，当 $S[i] = k$ 时，mp.has(k - k) = mp.has(0) 就会找到这个 $S[-1]$ ，并正确地将计数加一。

算法通过循环遍历数组中的每一个元素 x，并在每一步执行两个主要动作：

查找目标前缀和并计数

if (mp.has(pre - k)) { count += mp.get(pre - k); }
在计算出当前前缀和 S[i] 后，立即去哈希表中查找目标前缀和 $S[j-1] = S[i] - k$ 。
如果找到，说明之前有 $M$ 个子数组的前缀和为 $S[i] - k$ 。那么，当前以 $i$ 结尾、和为 $k$ 的子数组就有 $M$ 个，将 $M$ 加到 count 中。

更新当前前缀和的出现次数

if (mp.has(pre)) {
    mp.set(pre, mp.get(pre) + 1);
} else {
    mp.set(pre, 1);
}

将当前计算得到的 前缀和 ( $S[i]$ ) 及其出现次数记录或更新到哈希表中，供后续遍历时使用。

时间，空间复杂度

时间复杂度： $O(N)$

算法只进行了一次数组遍历。
哈希表（Map）的查找、插入和更新操作的平均时间复杂度均为 $O(1)$ 。
因此，总时间复杂度为线性的 $O(N)$ 。

空间复杂度： $O(N)$

最坏情况下，数组中所有前缀和都不同（例如递增数组），哈希表需要存储 $N$ 个不同的前缀和以及初始的 $S[-1]=0$ 。因此，空间复杂度为 $O(N)$ 。