一文看懂指数函数：基础与性质

指数函数是数学中常见的一类函数，形式通常为$f(x) = a^x$，其中底数 $a$ 是常数$（a>0且 a≠1）$，自变量 $x$ 是指数。以下是关于指数函数的详细说明，适合初学者理解：

1. 基本形式

• 标准形式：$y = a^x$

  • $a$ 称为底数（base），是正实数且不等于 1（因为 $a=1$ 时函数退化为常数函数 $y=1$）。
  • $x$ 是指数（exponent），可以是任意实数。

• 常见特例：自然指数函数 $y = e^x$，其中 $e≈2.71828$（自然常数）。

2. 定义域和值域

• 定义域：所有实数（$x∈R$），因为任何实数指数都有定义（例如 $a^{-2} = \frac{1}{a^2}，a^{0.5} = \sqrt{a}$）。
• 值域：正实数（$y>0$），即函数值始终为正。

3. 图像特征

• 当$a>1$时：

  • 函数单调递增（即 $x$ 增大，$y$ 增大）。
  • 图像过点$(0,1)$（因为 $a^0 = 1$）。
  • 随着 $x→−∞，y→0$（趋近于 x 轴但不接触）；随着 $x→+∞，y→+∞。$

• 当 $0<a<1$ 时：

  • 函数单调递减。
  • 同样过点 $(0,1)$。
  • $随着 x→−∞，y→+∞；随着 x→+∞，y→0。$

4. 重要性质

• 指数法则（运算法则）：

  1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  2. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  3. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
  4. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
  5. $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$

5. 实际应用

• 复利计算：本金 $P$ 以年利率 $r$ 连续复利，$t$ 年后总额为 $A = P e^{rt}v。

6. 常见误区

• 指数函数$a^x$ 与幂函数$x^a$不同：前者指数是变量，底数是常数；后者底数是变量，指数是常数。
• 注意底数 $a$ 必须为正（负底数可能导致无定义，如 $(-2)^{0.5}$ 不是实数）。

7. 简单例子

• $f(x) = 2^x：$

  • $f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4, f(−1)=0.5$

• $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x：$

  • $g(0)=1, g(1)=0.5, g(2)=0.25$