考研数学：数轴根法（穿根法）——高效求解高次不等式的利器

在考研数学中，求解一元高次不等式（形如$f(x)>0 或 f(x)<0$）是一个基础且高频的考点。这类问题若采用代数讨论法，往往过程繁琐，极易出错。而数轴根法（又称穿根法或穿针引线法）提供了一种将代数问题几何化、可视化的解决方案，能帮助考生快速、准确地写出解集，是考场上的“秒杀”技巧。

一、什么是数轴根法？

数轴根法是一种用于求解一元高次不等式的图解方法。其核心思想是：

1. 将不等式转化为一端为0的形式：$f(x)>0 或 f(x)<0。$
2. 求出方程 $f(x)=0$ 的所有实数根，并在数轴上标出。
3. 根据最高次项系数的正负和根的重数，从数轴右上方开始，用一条连续曲线“穿”过这些根。
4. 根据曲线在数轴上方或下方的部分，直接读出不等式的解集。

二、操作步骤详解（“三步走”策略）

第一步：化零与因式分解

1. 化零：将不等式所有项移到一侧，使另一端为0。例如：$x^2(x-1)(x-2) \leq 0$已经是标准形式 $f(x)≤0。$
2. 分解因式：将多项式 $f(x)$ 分解为若干个一次因式或不可约二次因式的乘积。这是最关键的一步，分解得越彻底，后续越简单。 示例：$f(x) = x^2(x-1)^3(x-2)(x+3)$

第二步：标根与定轴

1. 求根标根：令每个一次因式为0，求出所有实数根（即零点），并按照从小到大的顺序标在数轴上。 接上例：根为 $x=−3$（单根）, $x=0$（二重根）,$x=1$（三重根）, $x=2$（单根）。

2. 确定起点：观察最高次项系数的正负。这决定了曲线从数轴的哪个区域开始。

   • “右上方”起点原则：若最高次项系数为正，则曲线从数轴右上方开始。
   • “右下方”起点原则：若最高次项系数为负，则曲线从数轴右下方开始。通常先提取负号，使其变为正，更方便操作。

第三步：穿根与定解

1. “奇穿偶不穿”法则：这是穿根法的灵魂。从数轴最右侧开始，向左画一条连续的曲线，依次穿过各个根。

   • “奇穿” ：若根的重数为奇数（1, 3, 5...），则曲线穿过数轴。
   • “偶不穿” ：若根的重数为偶数（2, 4, 6...），则曲线反弹回来，不穿过数轴（即在该点与数轴相切）。 接上例：从右上方开始画线。
   • 遇到 $x=2$（单根，奇数次），穿过数轴到下方。
   • 遇到 $x=1$（三重根，奇数次），再次穿过数轴到上方。
   • 遇到 $x=0$（二重根，偶数次），不穿过，从上方反弹回上方。
   • 遇到 $x=−3$（单根，奇数次），穿过数轴到下方。

2. 读图定解：根据不等式符号和曲线位置确定解集。

   • 求 $f(x)>0$ 的解集：即找曲线在数轴上方的区间。
   • 求 $f(x)<0$的解集：即找曲线在数轴下方的区间。
   • 求 $f(x)≥0 或 f(x)≤0f$的解集：在以上基础上，加上使 $f(x)=0$ 的根（注意：这些根是否包含需根据原不等式是否包含等号决定）。

接上例：求 $f(x)≥0$的解集。

• 数轴上方的区间有：$(−3,0), (0,1), (2,+∞)。$
• 再加上所有的根：$x=−3,0,1,2。$
• $∴ 解集为：[−3,0]∪[0,1]∪[2,+∞)=[−3,1]∪[2,+∞)。 （注意：$x=0 和 x=1 $虽然是重根，但只要不等式包含等号，就要包含进去。）$

三、考研实战技巧与注意事项

1. 分解彻底是关键：必须将多项式分解为一次因式的乘积。不可约的二次因式如 $(x^2+1)$恒正或恒负，不影响不等号方向，可忽略或单独讨论。

2. 处理分式不等式：穿根法同样适用于分式不等式$\frac{P(x)}{Q(x)} > 0。$步骤完全一样，只需注意：

   • 分母的根会使函数无定义，这些点用空心圈标出，且绝不能包含在解集中。
   • 解$\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$时，只能取分子的根，不能取分母的根。

3. 巧记口诀：“化成标准式，根在轴上标。奇穿偶不穿，就看次数项。从上右开始穿，解集看图便知道。”

4. 验证端点：对于包含等号的不等式，代入根验证总是个好习惯，可以防止因“奇穿偶不穿”规则应用错误而导致的多取或漏取端点。

四、真题演练示例

例题：求解不等式 $(x+1)^2(x-2)(x-3)^3 \leq 0.$

解：

1. 化零因式分解：已是标准形式。

2. 标根：根为$x=−1$（偶次重根，2次），$x=2$（奇次重根，1次），$x=3$（奇次重根，3次）。最高次项系数为 $1×1×1=1>0。$

3. 穿根：从数轴右上方开始画线。

   • 经过 $x=3$（奇数次）→ 穿过数轴到下方。
   • 经过 $x=2$（奇数次）→ 穿过数轴到上方。
   • 经过 $x=−1$（偶数次）→ 不穿过，反弹回上方。

4. 定解：求 $f(x)≤0$，即找出曲线在数轴下方及根上的点。

   • 下方区间：$[2,3]$
   • 根上的点：$x=−1,2,3。$但注意 $x=−1$ 处曲线在上方，且是偶次重根，函数值为0，需要包含。
   • $∴ 解集为：\{-1\} \cup [2, 3]。$

即：$\boxed{x = -1 \quad \text{或} \quad 2 \leq x \leq 3}​.$

五、总结

数轴根法（穿根法）将抽象的代数推理转化为直观的图形判断，极大地提高了解题效率和准确性。熟练运用“奇穿偶不穿”法则，并能正确处理分式、端点等问题，足以让你在考研数学中轻松应对所有高次不等式题型。多加练习，形成肌肉记忆，必能在考场上为你节省宝贵时间。