线性代数｜第五章 矩阵的特征值、特征向量、相似矩阵｜四、（实）对称矩阵的对角化

四、（实）对称矩阵的对角化

1. 对称矩阵的特征值与特征向量的性质

(1) 对称矩阵的特征值实数。

(2) 对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的。

推论 设 $\mathbf A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$\lambda$ 是 $\mathbf A$ 的特征方程的 $k$ 重根，对应特征值 $\lambda$ 恰有 $k$ 个线性无关的特征向量。

2. 对称矩阵的对角化

设 $\mathbf A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，则一定存在正交矩阵 $\mathbf P$，使得

其中 $\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)$ 是 $\mathbf A$ 的特征值。