线性代数｜第六章二次型｜二、化二次型为标准形、规范形二、化二次型为标准形、规范形 1. 二次型的标准形、规范形 (1)

二、化二次型为标准形、规范形

(1) 对于二次型 $f = \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x (\mathbf A^T = \mathbf A)$ ，一定存在可逆线性变换 $\mathbf x = \mathbf C \mathbf y$ ，使二次型

\begin{align} f &= \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x = \mathbf y^T(\mathbf C^T\mathbf A\mathbf C)\mathbf y \\\\ & =k_1y^2_1 + k_2y^2_2 + \cdots + k_ny^2_n \end{align}

只含平方项，称为二次型的标准形。

(2) 如果二次型的标准形的系数 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 只是 $1,-1,0$ ，即可逆线性变换 $\mathbf x = \mathbf C \mathbf y$ 使二次型 $f=\mathbf x^T \mathbf A \mathbf x$ 化为

f = y^2_1 + \cdots + y^2_p - y^2_{p+1} - \cdots - y^2_r

则称为二次型的规范形，其中 $r$ 是二次型的秩。

(3) 二次型的标准形中正系数的个数（即规范形中 $1$ 的个数 $p$ ）称为二次型的正惯性指数，负系数的个数（即规范形中 $-1$ 的个数 $r-p$ ）称为负惯性指数。

① 任给二次型 $f = \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x (\mathbf A^T = \mathbf A)$ ，总存在正交变换 $\mathbf x = \mathbf P \mathbf y$ ，使 $f$ 化为标准形

f=\lambda_1y^2_1 + \lambda_2y^2_2 + \cdots + \lambda_ny^2_n ，

其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是 $f$ 的矩阵 $\mathbf A = (a_{ij})$ 的特征值。

② 任一个 $n$ 元二次型 $f = \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x (\mathbf A^T = \mathbf A)$ ，都可以通过可逆线性变换 $\mathbf x = \mathbf P \mathbf y$ ，使 $f$ 化为标准形

f=d_1y^2_1+ d_2y^2_2 + \cdots + d_ny^2_n,

设有二次型 $f = \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x$ ，其秩为 $r$ ，设有两个可逆线性变换

\mathbf x = \mathbf C \mathbf y 及 \mathbf x = \mathbf P \mathbf z

使 $f=\mathbf y^T(\mathbf C^T \mathbf A \mathbf C)\mathbf y = k_1y^2_1+k_2y^2_2+ \cdots + k_ry^2_r(k_i ≠ 0)，$

及 $f=\mathbf z^T(\mathbf P^T \mathbf A \mathbf P)\mathbf z =\lambda_1z^2_1+\lambda_2z^2_2 + \cdots + \lambda_rz^2_r(λ_i ≠ 0)，$

则 $k_1,k_2,\cdots,k_r$ 中正数的个数与 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$ 中正数的个数相等。这个定理称为惯性定理。