线性代数｜第四章 线性方程组｜三、齐次线性方程组

三、齐次线性方程组

1. 有非零解的判定

(1) 齐次线性方程组 $\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ $R(\mathbf A) = r < n$，特别 $\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ $R(\mathbf A) = r < n$ $\Leftrightarrow$ $| \ \mathbf A \ | = 0$。

(2) 如果 $m < n$（即方程的个数小于未知数的个数），则齐次线性方程组 $\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf 0$ 一定有非零解。

2. 解的性质

设齐次线性方程组为

如果 $\mathbf x = \mathbf ξ_1$，$\mathbf x = \mathbf ξ_2$ 为 $(2.11)$ 的解，则 $\mathbf x = k_1 \mathbf ξ_1 + k_2 \mathbf ξ_1$，$k_1$，$k_2$为实数，也是 $(2.11)$ 的解。

3. 基础解系

(1) 定义

设 $ξ_1,ξ_2,\cdots,ξ_s$，是 $\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf 0$ 的解向量，若满足

① $ξ_1,ξ_2,\cdots,ξ_s$ 线性无关；

② $\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf 0$ 的任一解向量都能由 $ξ_1,ξ_2,\cdots,ξ_s$ 线性表出，则称 $ξ_1,ξ_2,\cdots,ξ_s$ 是 $\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf 0$ 的基础解系。

(2) 基础解系的存在性

如果齐次线性方程组 $\mathbf A_{m \times n} \mathbf x = \mathbf 0$ 有非零解，则其基础解系一定存在，且基础解系中所含向量的个数为 $n-r$，其中 $r=R(\mathbf A_{m \times n})$。