线性代数｜第二章 矩阵｜一、矩阵的概念及运算

一、矩阵的概念及运算

1. 矩阵的定义

$m × n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$ 排成如下的 $m$ 行 $n$ 列的数表

称为一个 $m × n$ 矩阵，记为 $\mathbf A$ 或 $\mathbf A_{m × n}$，即 $\mathbf A=(a_{ij})$ 或 $\mathbf A=(a_{ij})_{m × n}$。 这 $m × n$ 个数称矩阵 $\mathbf A$ 的元素。

当 $m=n$ 时，矩阵 $\mathbf A_{n × n}$ 称 $n$ 阶矩阵或 $n$ 阶方阵。

元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 $\mathbf O$，应注意不同型的零矩阵是不同的。

只有一行的矩阵 $\mathbf A=(a_1,a_2,\cdots,n)$ 称行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 $\mathbf A=(a_1,a_2,\cdots,n)$。只有一列的矩阵$\mathbf A=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$ 称为列矩阵，又称列向量。

设 $\mathbf A=(a_{ij})_{m × n}$，$\mathbf B=(b_{ij})_{m × n}$ 是两个同型矩阵（行数相等、列数也相等），如果对应元素都相等，即

$a_{ij}=b_{ij} (i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)，$

则称矩阵 $\mathbf A$ 与 $\mathbf B$ 相等，记作 $\mathbf A = \mathbf B$。

2. 特殊矩阵

(1) 单位阵

主对角线上的元素全为 $1$，其他元素都是 $0$ 的方阵称为单位阵，记为 $\mathbf E$。

(2) 数量阵

主对角线上的元素全为 $k(数k≠0)$，其他元素都是 $0$的方阵称为数量阵，记为 $k \mathbf E$。

(3) 对角阵

主对角线上的元素为常数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ，其他元素都是 $0$ 的方阵称为对角阵，记为 $\mathbf A$，即

(4) 上（下）三角阵

当 $i > j (i < j)$ 时，有 $a_{ij}=0$ 的方阵称为上（下）三角阵，即

上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵。

(5) 对称阵

若 $n$ 阶方阵 $\mathbf A$ 的元素满足 $a_{ij}=a_{ji}$，即 $\mathbf A^τ = \mathbf A$，则称 $\mathbf A$ 为对称阵。

(6) 反对称阵

若 $n$ 阶方阵 $\mathbf A$ 的元素满足 $a_{ij}=-a_{ji}$，即 $\mathbf A^τ = -\mathbf A$，则称 $\mathbf A$ 为反对称阵。

3. 矩阵的运算

(1) 矩阵的加减与数乘

1) 矩阵的加（减）法

设 $\mathbf A=(a_{ij})_{m × n}$ 和 $\mathbf B=(b_{ij})_{m × n}$ 是两个同型矩阵，则

2) 数量乘法（数乘）

数 $λ$ 与矩阵 $\mathbf A=(a_{ij})_{m × n}$ 的乘积记作 $λ \mathbf A$，则

3) 运算律

（假设 $\mathbf A,\mathbf B, \mathbf C$ 为 $m × n$ 矩阵，$λ,μ$ 为数）

①（加法）交换律：$\mathbf A + \mathbf B = \mathbf B + \mathbf A$；

②（加法）结合律：$(\mathbf A + \mathbf B) + \mathbf C = \mathbf A + (\mathbf B + \mathbf C)$；

（数乘）结合律：$(λμ)\mathbf A=λ(μ\mathbf A)$；

③ 分配律：$λ(\mathbf A + \mathbf B)=λ\mathbf A + λ\mathbf B, (λ+μ)\mathbf A = λ\mathbf A + μ\mathbf A$；

(2) 矩阵与矩阵相乘（矩阵的乘法）

1) 定义

设 $\mathbf A = (a_{ij})$ 是一个 $m × s$ 矩阵，$\mathbf B = (b_{ij})$ 是一个 $s × n$ 矩阵，则矩阵 $\mathbf A$ 与矩阵 $\mathbf A$ 的乘积是一个 $m × n$ 矩阵 $\mathbf C = (c_{ij})$，即 $\mathbf C = \mathbf A \mathbf B$，其中

$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{is}b_{sj} = \sum^{s}_{k=1} a_{ik}b_{kj}$

2) 运算律

（假设运算都是可行的）

①（矩阵乘法）结合律：$(\mathbf A \mathbf B) \mathbf C = \mathbf A (\mathbf B \mathbf C)$；

（数与矩阵乘法）结合律：$λ(\mathbf A \mathbf B)=λ(\mathbf A) \mathbf B=\mathbf A (λ \mathbf B)$（其中$λ$为数）；

② 分配律：

$\mathbf A( \mathbf B + \mathbf C) = \mathbf A \mathbf B + \mathbf A \mathbf C$

$(\mathbf B + \mathbf C) \mathbf A = \mathbf B \mathbf A + \mathbf C \mathbf A$

(3) 矩阵的转置

1) 定义

把矩阵 $\mathbf A$ 的行列互换得到一个新矩阵，为 $\mathbf A$ 的转置矩阵，记作 $\mathbf A^T$。

例如：

如果 $\mathbf A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}_{m × n}$，则

$\mathbf A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1m} & a_{2m} & \cdots & a_{nm} \\ \end{bmatrix}_{n × m}$

2) 性质

① $(\mathbf A^T)^T = \mathbf A$；

② $(\mathbf A + \mathbf B)^T = \mathbf A^T + \mathbf B^T$；

③ $(λ \mathbf A)^T = λ \mathbf A^T$;

④ $(\mathbf A \mathbf B)^T = \mathbf B^T \mathbf A^T$

(4) 方阵的行列式

1) 定义

由 $n$ 阶方阵 $\mathbf A$ 的元素所构成的行列式，称为方阵 $\mathbf A$ 的行列式，记作 $|\mathbf A|$ 或 $\det(\mathbf A)$。

2) 性质

（设 $\mathbf A,\mathbf B$ 为 $n$ 阶方阵，$λ$为数）

① $| \ \mathbf A^T\ | = |\ \mathbf A \ |$ （行列式性质1 - 经过转置行列式的值不变）；

② $|\ λ\mathbf A\ |=λ^n| \ \mathbf A \ |$;

③ $|\ \mathbf A \mathbf B\ | = | \ \mathbf A \ | \ | \ \mathbf B \ |$。

(5) 方阵的幂

1) 定义

设 $\mathbf A$ 是 $n$ 阶方阵，定义 $\mathbf A^k = \underbrace{\mathbf A \bullet \mathbf A \bullet \cdots \bullet \mathbf A}_{k个}$ 为 $\mathbf A$的 $k$ 次幂。

2) 性质

（假设 $\mathbf A$ 为 $n$ 阶方阵，$k,m$ 为正整数）

① $(\mathbf A^k)^m = \mathbf A^{km}$；

② $\mathbf A^k \mathbf A^m = \mathbf A^{k+m}$。