线性代数｜第六章 二次型｜三、正定二次型、正定矩阵

三、正定二次型、正定矩阵

1. 定义

设有二次型 $f(\mathbf x) = \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x (\mathbf A^T = \mathbf A)$，若对任意的非零向量，都有 $f(\mathbf x)>0 \ (f(\mathbf x)<0)$（显然$f(\mathbf 0)=0$），则称 $f$ 正定二次型，并称对称矩阵 $\mathbf A$ 是正定矩阵。

2. 正定二次型（正定矩阵）的充要条件

二次型 $f(\mathbf x) = \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x$ 正定（对称矩阵 $\mathbf A$ 正定）

$\Leftrightarrow$ 二次型 $f$ 的正惯性指数等于 $n$；

$\Leftrightarrow$ $\mathbf A$ 合同于 $\mathbf E$，即存在可逆矩阵 $\mathbf C$，使 $\mathbf C^T\mathbf A\mathbf C=\mathbf E$；

$\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $\mathbf D$，使 $\mathbf A=\mathbf D^T \mathbf D$；

$\Leftrightarrow$ $\mathbf A$ 的特征值 $\lambda_i>0,i=1,2,\cdots,n$；

$\Leftrightarrow$ $\mathbf A$ 的全部顺序主子式大于零，即

3. 正定矩阵的必要条件

若二次型 $f(\mathbf x) = \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x$ 正定，则行列式 $| \ \mathbf A \ |>0$，且 $\mathbf A$ 的主对角线元素 $a_{ii}>0(i=1,2,\cdots,n)$。