线性代数｜第六章 二次型｜一、二次型的概念、矩阵表示

noob_coder
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一、二次型的概念、矩阵表示

1. 二次型的定义

nn 个变量的一个二次齐次多项式

f(x1,x2,⋯ ,xn)=a11x12+2a12x1x2+⋯+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+⋯+2a2nx2xn+⋯+annxn2\begin{align} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &= a_{11}x^2_1 + 2a_{12}x_1x_2 + \cdots + 2a_{1n}x_1x_n \\ & + a_{22}x^2_2 + 2a_{23}x_2x_3 + \cdots + 2a_{2n}x_2x_n \\ & + \cdots + a_{nn}x^2_n \end{align}

称为 nn 个变量的二次型。系数均为实数时，称为 nn 元实二次型。

2. 二次型的矩阵表示

(1) 设 x=[x1x2⋮xn]\mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} ，A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann]\mathbf A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} ，则二次型可表示为

f(x1,x2,⋯ ,xn)=xTAx,(2.14)\begin{align} & f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x , & (2.14) \end{align}

其中 A\mathbf A 为对称矩阵，(2.14)(2.14) 称为二次型的矩阵表示。把对称矩阵 A\mathbf A 叫做二次型 ff 的矩阵，把 ff 叫做对称矩阵 A\mathbf A 的二次型。

(2) 如果 f=xTAxf = \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x，其中 A\mathbf A 是对称矩阵，则对称矩阵 A\mathbf A 的秩即为二次型 ff 的秩。

3. 线性变换

两组变量 x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_n 与 y1,y2,⋯ ,yny_1,y_2,\cdots,y_n 有

{x1=c11y1+c12y2+⋯+c1nyn.x2=c21y1+c22y2+⋯+c2nyn,⋯ ,xn=cn1y1+cn2y2+⋯+cnnyn,(2.15)\begin{align} & \begin{cases} x_1 = c_{11}y_1 + c_{12}y_2 + \cdots + c_{1n}y_n .\\ x_2 = c_{21}y_1 + c_{22}y_2 + \cdots + c_{2n}y_n ,\\ \cdots, \\ x_n = c_{n1}y_1 + c_{n2}y_2 + \cdots + c_{nn}y_n ,\\ \end{cases} & (2.15) \end{align}

称为由 y1,y2,⋯ ,yny_1,y_2,\cdots,y_n 到 x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_n 的一个线性变换。

记

x=[x1x2⋮xn],y=[y1y2⋮yn],C=[c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋮⋮⋮cn1cn2⋯cnn],\begin{align} \mathbf x &= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \\\\ \mathbf y &= \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}, \\\\ \mathbf C &= \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix}, \end{align}

则线性变换 (2.15)(2.15) 可写成

x=Cy\mathbf x = \mathbf C \mathbf y

若 ∣ C ∣≠0|\ \mathbf C \ |≠0，则称线性变换为可逆线性变换；若 C\mathbf C 是正交矩阵，则称 x=Cy\mathbf x = \mathbf C \mathbf y 为正交变换。

4. 合同矩阵

(1) 定义

设 A,B\mathbf A,\mathbf B都是 nn 阶矩阵，若存在可逆矩阵 C\mathbf C，使得

CTAC=B,\mathbf C^T \mathbf A\mathbf C = \mathbf B,

则称矩阵 A\mathbf A 与 B\mathbf B 合同。对 A\mathbf A 进行运算 CTAC\mathbf C^T \mathbf A\mathbf C 称为对 A\mathbf A 进行合同变换，可逆矩阵 C\mathbf C 称为把 A\mathbf A 变成 B\mathbf B 的合同变换矩阵。

(2) 性质

设 A\mathbf A 与 B\mathbf B 合同

① 若 A\mathbf A 为对称矩阵，则 B\mathbf B 也为对称矩阵；

② R(A)=R(B)R(\mathbf A) = R(\mathbf B)；

③ 若 A\mathbf A 与 B\mathbf B 合同，B\mathbf B 与 C\mathbf C 合同，则 A\mathbf A 与 C\mathbf C 合同。

(3) 可逆线性变换前后二次型的矩阵之间的关系

设二次型 f=xTAx(AT=A)f = \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x (\mathbf A^T = \mathbf A)，令 x=Cy\mathbf x = \mathbf C \mathbf y，∣ C ∣≠0| \ \mathbf C \ |≠0，则

f=xTAx=(Cy)TACy=yT(CTAC)y=记yTBy\begin{align} f &= \mathbf x^T \mathbf A \mathbf x = (\mathbf C \mathbf y)^T\mathbf A \mathbf C \mathbf y \\\\ &= \mathbf y^T(\mathbf C^T\mathbf A\mathbf C) \mathbf y \xlongequal{记} \mathbf y^T \mathbf B \mathbf y \end{align}

其中 B=CTAC\mathbf B = \mathbf C^T \mathbf A\mathbf C，即可逆线性变换前后二次型对应的矩阵是合同的。

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