线性代数｜第四章线性方程组｜一、线性方程组的概念一、线性方程组的概念 1. 非齐次线性方程组 $n$ 个未知量、$m$

一、线性方程组的概念

1. 非齐次线性方程组

$n$ 个未知量、 $m$ 个方程组成的方程组

\begin{align} & \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1,\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2,\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m, \end{cases} & (2.1) \end{align}

称为非齐次线性方程组， $(2.1)$ 式称为非齐次性方程组的一般形式，其中右端常数项 $b_1,b_2,\cdots,b_m$ 不全为零。

(1) 矩阵形式

方程组 $(2.1)$ 的矩阵形式为

\begin{align} & \mathbf A_{\mathbf m \times \mathbf n} \mathbf x = \mathbf b & (2.2) \end{align}

其中 $\mathbf A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$ 称为系数矩阵，

$\mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ 称为未知数向量，

$\mathbf x = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$ 称为常数项向量，

$\mathbf B = \left[ \begin{array}{cccc:c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array} \right]$ 称为增广矩阵，可记 $\mathbf B = (\mathbf A \ \vdots \ \mathbf b)$ ，或 $\mathbf B = (\mathbf A,\mathbf b)$ 。

方程 $(2.2)$ 以向量为未知元，其解称为方程组 $(2.1)$ 的解向量。

(2) 向量形式

把系数矩阵 $\mathbf A$ 按列分成 $n$ 块，则方程 $(2.2)$ 可写成

(\mathbf α_1,\mathbf α_2,\cdots,\mathbf α_n) \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \mathbf b

即

\begin{align} & x_1 \mathbf α_1 + x_2 \mathbf α_2 + \cdots + x_n \mathbf α_n = \mathbf b & (2.3) \end{align}

$(2.3)$ 就是方程组 $(2.1)$ 的向量表示形式。

如果把系数矩阵 $\mathbf A$ 按行分成 $m$ 块，则方程 $(2.2)$ 可写成

\begin{align} & \begin{bmatrix} \mathbf α^T_1 \\ \mathbf α^T_2 \\ \vdots \\ \mathbf α^T_m \end{bmatrix} \mathbf x = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} 或 \begin{cases} \mathbf α^T_1 \mathbf x = b_1, \\ \mathbf α^T_2 \mathbf x = b_2, \\ \cdots \\ \mathbf α^T_m \mathbf x = b_m, \end{cases} & (2.4) \end{align}

2. 齐次线性方程组

方程组 $(2.1)$ 中，如果 $b_1 = b_2 = \dots = b_m = 0$ ，则称方程组

\begin{align} & \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0, \\ \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0, \end{cases} & (2.5) \end{align}

称为方程组 $(2.1)$ 对应的齐次线性方程组，也称为 $(2.1)$ 的导出组，称为齐次线性方程组的一般形式。

其矩阵形式为

\begin{align} & \mathbf A \mathbf x = \mathbf 0 & (2.6) \end{align}

向量形式为

\begin{align} & x_1 \mathbf α_1 + x_2 \mathbf α_2 + \cdots + x_n \mathbf α_n = \mathbf 0 & (2.7) \end{align}

也可以表示为

\begin{align} & \begin{cases} \mathbf α^T_1 \mathbf x = 0, \\ \mathbf α^T_2 \mathbf x = 0, \\ \cdots \\ \mathbf α^T_m \mathbf x = 0, \end{cases} & (2.8) \end{align}

线性代数｜第四章 线性方程组｜一、线性方程组的概念

一、线性方程组的概念

1. 非齐次线性方程组

(1) 矩阵形式

(2) 向量形式

2. 齐次线性方程组

线性代数｜第四章线性方程组｜一、线性方程组的概念