线性代数｜第二章矩阵｜五、分块矩阵五、分块矩阵 1. 分块矩阵的定义将矩阵 $\mathbf A$ 用若干条纵线和横

五、分块矩阵

将矩阵 $\mathbf A$ 用若干条纵线和横线分成许多小块，每一小块称为 $\mathbf A$ 的子块（或子矩阵），以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

分块矩阵与普通矩阵有类似的加法、数乘、乘积、转置等运算，只要将子块当做普通矩阵元素即可。

设 $\mathbf A,\mathbf B$ 都是可逆矩阵，则

(1)

\begin{align} \begin{bmatrix} \mathbf A & \mathbf O \\ \mathbf O & \mathbf B \\ \end{bmatrix}^{-1} &= \begin{bmatrix} \mathbf A^{-1} & \mathbf O \\ \mathbf O & \mathbf B^{-1} \\ \end{bmatrix} ,\\\\ \begin{bmatrix} \mathbf O & \mathbf A \\ \mathbf B & \mathbf O \\ \end{bmatrix}^{-1} &= \begin{bmatrix} \mathbf O & \mathbf B^{-1} \\ \mathbf A^{-1} & \mathbf O \\ \end{bmatrix} \end{align}

(2)

\begin{bmatrix} \mathbf A & \mathbf C \\ \mathbf O & \mathbf B \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf A^{-1} & - \mathbf A^{-1} \mathbf C \mathbf B^{-1} \\ \mathbf O & \mathbf B^{-1} \\ \end{bmatrix}

(3)

\begin{bmatrix} \mathbf A & \mathbf O \\ \mathbf C & \mathbf B \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf A^{-1} & \mathbf O \\ -\mathbf B^{-1} \mathbf C \mathbf A^{-1} & \mathbf B^{-1} \\ \end{bmatrix}

设 $\mathbf A$ 是 $m$ 阶矩阵， $\mathbf B$ 是 $n$ 阶矩阵，则

(1)

\begin{align} \begin{vmatrix} \mathbf A & \mathbf C \\ \mathbf O & \mathbf B \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf A & \mathbf O \\ \mathbf C & \mathbf B \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf A & \mathbf O \\ \mathbf O & \mathbf B \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf A \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \mathbf B \\ \end{vmatrix} \end{align}

(2)

\begin{align} \begin{vmatrix} \mathbf C & \mathbf A \\ \mathbf B & \mathbf O \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} \mathbf O & \mathbf A \\ \mathbf B & \mathbf C \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf O & \mathbf A \\ \mathbf B & \mathbf O \\ \end{vmatrix} \\ &=(-1)^{(m \times n)} \begin{vmatrix} \mathbf A \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \mathbf B \\ \end{vmatrix} \end{align}