线性代数｜第二章矩阵｜四、矩阵的秩四、矩阵的秩 1. 定义 (1) 子式在 $m × n$ 矩阵中，任取 $k$ 行

四、矩阵的秩

在 $m × n$ 矩阵中，任取 $k$ 行与 $k$ 列，位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，不改变它们在 $\mathbf A$ 中所处的位置次序而得到的 $k$ 阶行列式，称矩阵 $\mathbf A$ 的 $k$ 阶子式。

设在矩阵 $\mathbf A$ 中有一个不等于 $0$ 的 $r$ 阶子式，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 $0$ ，即矩阵中不等于 $0$ 的最高阶子式的阶数 $r$ 就是矩阵的秩，记作 $R(\mathbf A)$ ，即 $R(\mathbf A) = r$ 。

零矩阵的秩规定为 $0$ 。

初等变换不改变行列式的非零性。

初等变换不改变矩阵的秩。

设 $\mathbf A$ 是一个 $m × n$ 矩阵，且 $R(\mathbf A) = r$ ，则存在 $m$ 阶可逆阵 $\mathbf P$ 及 $n$ 阶可逆阵 $\mathbf Q$ ，使得

\mathbf P \mathbf A \mathbf Q = \begin{bmatrix} \mathbf E_r & \mathbf O \\ \mathbf O & \mathbf O \\ \end{bmatrix}

其中 $\mathbf E_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵。上式右端的矩阵称为 $\mathbf A$ 的标准形。

$0≤R(\mathbf A_{m × n})≤\min(m,n)$ ；
$R(\mathbf A)=R(\mathbf A^T)=R(k\mathbf A)$ ，其中 $k$ 是非零常数；
$R(\mathbf A)=0 \Leftrightarrow \mathbf A=\mathbf O$ ； $R(\mathbf A)≥1 \Leftrightarrow \mathbf A ≠ \mathbf O$ ；
$R(\mathbf A + \mathbf B)≤R(\mathbf A)+R(\mathbf B)$ ；
$R(\mathbf A \mathbf B) ≤ min(R(\mathbf A) , R(\mathbf B))$ ；
如果 $\mathbf A \sim \mathbf B$ ，则 $R(\mathbf A) = R(\mathbf B)$ ；
如果 $\mathbf P,\mathbf Q$ 可逆，则 $R(\mathbf P \mathbf A \mathbf Q) = R(\mathbf A)$ ；
$max(R(\mathbf A) ， R(\mathbf B)) ≤ R(\mathbf A,B) ≤R(\mathbf A) +R(\mathbf B)$ ；特别地， $R(\mathbf A) ≤ R(\mathbf A,\mathbf b) ≤R(\mathbf A) +1$ ，其中 $\mathbf b$ 为非零列向量。