线性代数｜第二章矩阵｜二、可逆矩阵与伴随矩阵二、可逆矩阵与伴随矩阵 1. 可逆矩阵 (1) 定义设 $\mathbf

二、可逆矩阵与伴随矩阵

设 $\mathbf A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $\mathbf B$ ，使

$\mathbf A \mathbf B = \mathbf B \mathbf A = \mathbf E$ （单位矩阵），

成立，则称矩阵 $\mathbf A$ 是可逆矩阵，并称矩阵 $\mathbf B$ 为矩阵 $\mathbf A$ 的逆矩阵，记为 $\mathbf A^{-1}$ 。

若 $\mathbf A$ 可逆，则 $\mathbf A^{-1}$ ， $\mathbf A^T$ 均可逆，且 $(\mathbf A^{-1})^{-1} = \mathbf A$ ， $(\mathbf A^T)^{-1}=(\mathbf A^{-1})^T$ 。
若 $\mathbf A$ 可逆，数 $λ≠0$ ，则 $λ \mathbf A$ 可逆，且

(λ \mathbf A)^{-1} = \frac{1}{λ} \mathbf A^{-1}

若 $\mathbf A,\mathbf B$ 为同阶可逆矩阵，则 $\mathbf A \mathbf B$ 可逆，且 $(\mathbf A\mathbf B)^{-1}=\mathbf B^{-1} \mathbf A^{-1}$ 。
若 $\mathbf A$ 可逆，则 $|\mathbf A^{-1} |= \frac{1}{|\mathbf A|}$ 。

$\mathbf A$ 可逆 $\Leftrightarrow |\mathbf A|≠0$ ，且 $\mathbf A^{-1} = \frac{1}{|\mathbf A|} \mathbf A^*$ ，其中 $\mathbf A^*$ 是 $\mathbf A$ 的伴随矩阵。

推论如果 $\mathbf A \mathbf B = \mathbf E$ （或 $\mathbf B \mathbf A = \mathbf E$ ），则 $\mathbf B = \mathbf A^{-1}，\mathbf A = \mathbf B^{-1}$ 。

设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf A=(a_{ij})$ ，则行列式 $|\mathbf A|$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的矩阵

\mathbf A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}

称为矩阵 $\mathbf A$ 的伴随矩阵，记作 $\mathbf A^*$ 。

（ $\mathbf A$ 是 $n$ 阶方阵， $λ$ 是数）

$\mathbf A \mathbf A^* = \mathbf A^* \mathbf A = |\mathbf A|\mathbf E$ ；
$(λ\mathbf A)^* = λ^{n-1}\mathbf A^*$ ；
$(\mathbf A \mathbf B)^* = \mathbf B^* \mathbf A^*$ ；
$|\mathbf A^*|=|\mathbf A|^{n-1}(n≥2)$ ；
$(\mathbf A^*)^* = |\mathbf A|^{n-2}\mathbf A (n≥3)$ ；
如 $\mathbf A$ 可逆，则 $\mathbf A^*$ 也可逆，且 $\mathbf A^* = |\mathbf A|\mathbf A^{-1}$ ， $(\mathbf A^*)^{-1} = \frac{1}{|\mathbf A|}\mathbf A$ 。