线性代数｜第一章行列式｜三、行列式的性质

2025-09-15 202 阅读1分钟

三、行列式的性质

记

D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}，

D^τ= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}，

称行列式 $D^τ$ 为行列式 $D$ 的转置行列式。

经过转置行列式的值不变，即 $D=D^τ$ 。
互换行列式的两行（列）位置，行列式的值变号。

推论若行列式有两行（列）完全相同，则此行列式值 0。
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 $k$ ，等于用数 $k$ 乘此行列式。

推论1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

推论2 若行列式中有一行（列）的元素全为零，则此行列式值为 0。

推论3 若行列式中有两行（列）的元素成比例，则此行列式值为 0。
把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一不为 0 的数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
如果行列式的某一行（列）的元素都是两个数之和

D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} + a_{1j'} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} + a_{2j'} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj} + a_{nj'} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}，

则 $D$ 等于下列两个行列式之和：

\begin{align} D&= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\\\ &+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j'} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j'} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj'} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{align}