线性代数｜第五章 矩阵的特征值、特征向量、相似矩阵｜一、特征值、特征向量

一、特征值、特征向量

1. 定义

(1) $\mathbf A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果对于数$λ$ 和 $n$ 维非零向量 $\mathbf α$ 满足

则称数 $λ$ 为矩阵 $\mathbf A$ 的特征值，非零向量 $\mathbf α$ 是 $\mathbf A$ 的对应于 $λ$ 的特征向量。

(2) 设 $\mathbf A = (a_{ij})$ 是一个 $n$ 阶矩阵，则

称为 $\mathbf A$ 的特征矩阵；

$|\ \mathbf A - λ \mathbf E \ |$ 称为 $\mathbf A$ 的特征多项式；

$|\ \mathbf A - λ \mathbf E \ | = 0$ 称 $\mathbf A$ 的特征方程，矩阵 $\mathbf A$ 的特征值即为特征方程的根。

2. 性质

(1) 设 $\mathbf A = (a_{ij})$ 是一个 $n$ 阶矩阵，$λ_i(i=1,2,\cdots,n)$ 是 $\mathbf A$ 的特征值，则

① $\sum^n_{i=1} \lambda_i = \sum^n_{i=1} a_{ii}$；

② $\prod^n_{i=1} \lambda_i = |\ \mathbf A\ |$。

(2) $n$ 阶矩阵 $\mathbf A$ 与 $\mathbf A^T$ 具有相同的特征值，但特征向量一般不同。

(3) $n$ 阶矩阵 $\mathbf A$ 的不同特征值对应的特征向量线性无关。